Prove que as retas de equações 2 x+3 y-1=0, x+y=0 e 3 x+4 y-1=0 concorrem no mesmo ponto P.

Solução

1^circ ) Determinemos P, interseção da 1^ a com a 2^ a :
l2 x+3 y-1=0 x+y=0 xrightarrow resolvendo x=-1 e y=+1 P(-1,+1)
2․) Provemos que P pertence à 3^ a reta:
3 xp+4 yp-1=3(-1)+4(+1)-1=-3+4-1=0

Passo 1

O enunciado dá três retas no plano:
r1: 2x+3y-1=0, r2: x+y=0, r3: 3x+4y-1=0
e pede para mostrar que elas concorrem num mesmo ponto. Vamos, primeiro, determinar o ponto de interseção P de r1 com r2 resolvendo o sistema linear, depois verificar que esse P satisfaz a equação de r3.

Passo 2

Resolvendo o sistema
2x+3y-1=0, x+y=0,
da segunda equação vem x=-y. Substituindo em r1:
2(-y)+3y-1=0;Longrightarrow;-2y+3y-1=0;Longrightarrow;y=1
Logo x=-1. Portanto o ponto de interseção é
P(-1,,1)

Passo 3

Verificamos agora se P pertence a r3 substituindo x=-1 e y=1 na equação de r3:
3(-1)+4(1)-1=-3+4-1=0
Como o resultado é zero, P(-1,1) satisfaz 3x+4y-1=0 e, assim, pertence a r3. Logo as três retas concorrem em P(-1,1).

Resposta

As retas concorrem no ponto P(-1,1).

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