Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥2 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto em \mathbb{R}^3 definido por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x^2,\quad 0 \le z \le x + y^2.
Para calcular esse volume, usamos uma integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Montamos a integral tripla correspondente ao volume:
V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x^2} \int_{z=0}^{\,x + y^2} dz \, dy \, dx.

Passo 3

Primeiro, integramos em z. Como \int_{0}^{x+y^2} dz = x + y^2, a integral reduz a
V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} \bigl(x + y^2\bigr)\, dy \, dx.

Passo 4

Agora integramos em y. Separamos em duas partes:
\int_{0}^{x^2} x \, dy = x \cdot (x^2) = x^3,
\int_{0}^{x^2} y^2 \, dy = \frac{(x^2)^3}{3} = \frac{x^6}{3}.
Logo,
V = \int_{0}^{1} \Bigl(x^3 + \frac{x^6}{3}\Bigr)\, dx.

Passo 5

Falta integrar em x:
\int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1} \frac{x^6}{3}\, dx = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{1}{7} = \frac{1}{21}.
Somando,
V = \frac{1}{4} + \frac{1}{21} = \frac{21 + 4}{84} = \frac{25}{84}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{84}

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