Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cubo inscrito numa esfera de raio r. O conteúdo é geometria espacial, e vamos usar a relação entre a diagonal do cubo e o diâmetro da esfera para encontrar a aresta do cubo e, em seguida, seu volume.

Passo 2

Num cubo de aresta s, a diagonal mede raiz3,s. Numa esfera de raio r, o diâmetro é 2r. Como o cubo está inscrito, sua diagonal coincide com o diâmetro da esfera, ou seja,
raiz3,s = 2r

Passo 3

Isolando s na equação anterior, obtemos
s = 2rraiz3

Passo 4

O volume do cubo é
V = s^3
Substituindo s = tfrac2rraiz3, vem
V = (2rraiz3)^3 = 8r^33raiz3
Racionalizando o denominador,
V = 8raiz39,r^3

Resposta

V = 8raiz39,r^3

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