Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede
.
Passo 1
O enunciado dá um cubo cuja área total mede
e pede o volume da esfera circunscrita a esse cubo. Vamos precisar de:
– fórmula da área total do cubo ( ) para achar a aresta
;
– relação entre a diagonal do cubo e o diâmetro da esfera circunscrita;
– fórmula do volume da esfera ( ).
– fórmula da área total do cubo (
– relação entre a diagonal do cubo e o diâmetro da esfera circunscrita;
– fórmula do volume da esfera (
Passo 2
Como a área total do cubo é
temos
Passo 3
A esfera circunscrita passa pelos vértices do cubo, logo o seu diâmetro
coincide com a diagonal espacial do cubo:
Passo 4
O raio da esfera é metade do diâmetro, isto é,
Passo 5
Aplicando a fórmula do volume da esfera,
primeiro calculemos
Portanto