Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm^2.

Passo 1

O enunciado dá um cubo cuja área total mede 54 cm^2 e pede o volume da esfera circunscrita a esse cubo. Vamos precisar de:
– fórmula da área total do cubo ( 6a^2) para achar a aresta a;
– relação entre a diagonal do cubo e o diâmetro da esfera circunscrita;
– fórmula do volume da esfera ( tfrac43pi r^3).

Passo 2

Como a área total do cubo é
6a^2 = 54,
temos
a^2 = 9 Longrightarrow a = 3 cm

Passo 3

A esfera circunscrita passa pelos vértices do cubo, logo o seu diâmetro d coincide com a diagonal espacial do cubo:
d = araiz3 = 3raiz3 cm

Passo 4

O raio da esfera é metade do diâmetro, isto é,
r = d2 = 3raiz32 cm

Passo 5

Aplicando a fórmula do volume da esfera,
V = 43,pi,r^3,
primeiro calculemos
r^3 = l(3raiz32r)^3 = 27cdot3raiz38 = 81raiz38
Portanto
V = 43,pi,81raiz38 = 4cdot81raiz33cdot8,pi = 27raiz32,pi

Resposta

V = 27piraiz32 cm^3

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