Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede 2,304 pi cm^3.

Passo 1

O enunciado dá o volume de uma esfera como tfrac43pi R^3 = 2304pi cm^3 e pede o volume de um cubo inscrito nessa esfera. Vamos usar as fórmulas de volume da esfera e do cubo, além da relação entre o diâmetro da esfera e a diagonal do cubo.

Passo 2

Da fórmula do volume da esfera,
43pi R^3 = 2304pi
cancelamos pi e isolamos R^3:
43R^3 = 2304 Longrightarrow R^3 = 2304cdot34 = 1728
Logo,
R = raiz[3]1728 = 12 cm

Passo 3

Num cubo inscrito, a diagonal espacial vale o diâmetro da esfera:
diagonal do cubo = 2R = 24 cm
Seja a a aresta do cubo; então
araiz3 = 24 Longrightarrow a = 24raiz3 = 8raiz3 cm

Passo 4

O volume do cubo é a^3. Substituindo a = 8raiz3:
a^3 = l(8raiz3r)^3 = 8^3cdot(raiz3)^3 = 512cdot3raiz3 = 1536raiz3 cm^3

Resposta

O volume do cubo inscrito é 1536raiz3 cm^3.

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