(Ceará-2001) Achar o menor natural n tal que 2001 é a soma dos quadrados de
inteiros ímpares. Justifique sua solução.
Passo 1
O enunciado pede o menor
tal que
onde cada
é um inteiro ímpar. Vamos usar propriedades de quadrados ímpares módulo 8 e depois construir explicitamente uma representação para justificar o valor de
.
Passo 2
Se
é ímpar, então
e
para algum inteiro
, pois
é par. Logo
Assim, a soma de
quadrados ímpares satisfaz
Como
, é necessário ter
Passo 3
Os menores
tais que
são
. Para
precisaríamos de um único quadrado ímpar igual a
, o que é impossível pois
. Portanto o próximo candidato é
.
Passo 4
Basta então exibir uma escrita de
como soma de nove quadrados ímpares. Por exemplo:
Calculando cada parte:
e de fato
Aqui usamos
termos ímpares.
Passo 5
Não existe solução para
(o único outro caso possível seria
), e para
já mostramos a decomposição. Portanto o menor
é
.