(Ceará-2001) Achar o menor natural n tal que 2001 é a soma dos quadrados de n inteiros ímpares. Justifique sua solução.

Passo 1

O enunciado pede o menor ninN tal que
2001 = a1^2 + a2^2 + cdots + an^2,
onde cada ai é um inteiro ímpar. Vamos usar propriedades de quadrados ímpares módulo 8 e depois construir explicitamente uma representação para justificar o valor de n.

Passo 2

Se a é ímpar, então a=2k+1 e
a^2 = 4k(k+1)+1 = 8m +1
para algum inteiro m, pois k(k+1) é par. Logo
a^2 equiv 1 pmod8
Assim, a soma de n quadrados ímpares satisfaz
a1^2 + cdots + an^2 equiv n pmod8
Como 2001 equiv 1 pmod8, é necessário ter
n equiv 1 pmod8

Passo 3

Os menores n tais que nequiv1pmod8 são n=1,9,17,dots. Para n=1 precisaríamos de um único quadrado ímpar igual a 2001, o que é impossível pois raiz2001notinZ. Portanto o próximo candidato é n=9.

Passo 4

Basta então exibir uma escrita de 2001 como soma de nove quadrados ímpares. Por exemplo:
2001 = 2cdot 21^2 + 5cdot 13^2 + 15^2 + 7^2
Calculando cada parte:
2cdot 21^2 = 882, 5cdot 13^2 = 845, 15^2 = 225, 7^2 = 49,
e de fato
882 + 845 + 225 + 49 = 2001
Aqui usamos 2+5+1+1=9 termos ímpares.

Passo 5

Não existe solução para n<9 (o único outro caso possível seria n=1), e para n=9 já mostramos a decomposição. Portanto o menor n é 9.

Resposta

9

Exercícios de Livros Relacionados