(Colégio Naval-95) Sabendo que o resultado de 12 times 11 times 10 times ldots times 3 times 2 times 1+14 é divisível por 13. Qual o resto da divisão do número 13 times 12 x … x 3 times 2 times 1 por 169?
a) 143
b) 149
c) 153
d) 156
e) 162

Passo 1

O enunciado diz que
12 times 11 times cdots times 2 times 1 + 14
é divisível por 13, e pede o resto de
13 times 12 times cdots times 2 times 1 = 13!
na divisão por 169 = 13^2.
O conteúdo envolve teoremas de aritmética modular (especialmente o Teorema de Wilson) e cálculo de fatoriais em módulo composto. Precisamos encontrar 13! bmod 169.

Passo 2

Da condição “ 12! + 14 é divisível por 13” obtemos
12! equiv -14 equiv -1 pmod13
Isso bate com o Teorema de Wilson para p=13, que diz (13-1)! = 12! equiv -1 pmod13. Embora essa congruência não nos dê diretamente o valor de 12!bmod169, confirma que estamos no caminho certo.

Passo 3

Como
13! = 13 times 12!,
bastará calcular primeiro
12! bmod 169
e depois multiplicar o resultado por 13, reduzindo novamente módulo 169.

Passo 4

Vamos computar passo a passo 12!bmod169, reduzindo sempre que ultrapassar 169:
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 120 times 6 = 720 equiv 44
7! = 44 times 7 = 308 equiv 139
8! = 139 times 8 = 1112 equiv 98
9! = 98 times 9 = 882 equiv 37
10! = 37 times 10 = 370 equiv 32
11! = 32 times 11 = 352 equiv 14
12! = 14 times 12 = 168
Logo
12! equiv 168 pmod169

Passo 5

Multiplicando por 13 para obter 13!:
13! = 13 times 12! equiv 13 times 168 = 2184 equiv 156 pmod169

Resposta

156

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