(Ceará-2003) Seja P um ponto no interior de um hexágono regular com lados de comprimento um. Os segmentos que unem P a dois vértices têm comprimento 13 / 12 e 5 / 12 respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos unindo P aos outros vértices do hexágono.
Passo 1
O enunciado trata de um hexágono regular de lado 1 e de um ponto P no interior cujas distâncias a dois vértices consecutivos (digamos A_1 e A_2) são
|PA_1|=\frac{13}{12}, \qquad |PA_2|=\frac{5}{12}.
O objetivo é encontrar as distâncias de P aos outros quatro vértices A_3,A_4,A_5,A_6. Vamos usar modelagem no plano complexo e a fórmula de distância.
Passo 2
Escolhemos o centro do hexágono como origem e colocamos
A_k=e^{\,i(k-1)\pi/3}, \quad k=1,2,\dots,6.
Seja z o número complexo que representa P. As condições dadas são
Escrevendo e^{\,i\pi/3}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i, subtraímos os quadrados para obter uma equação linear em \Re z e \Im z. O cálculo (que envolve expandir (z-1)(\overline z-1) e (z-e^{i\pi/3})(\overline z-e^{-i\pi/3}) e subtrair) leva a