(Ceará-2003) Seja P um ponto no interior de um hexágono regular com lados de comprimento um. Os segmentos que unem P a dois vértices têm comprimento 13 / 12 e 5 / 12 respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos unindo P aos outros vértices do hexágono.

Passo 1

O enunciado trata de um hexágono regular de lado 1 e de um ponto P no interior cujas distâncias a dois vértices consecutivos (digamos A_1 e A_2) são
|PA_1|=\frac{13}{12}, \qquad |PA_2|=\frac{5}{12}.
O objetivo é encontrar as distâncias de P aos outros quatro vértices A_3,A_4,A_5,A_6. Vamos usar modelagem no plano complexo e a fórmula de distância.

Passo 2

Escolhemos o centro do hexágono como origem e colocamos
A_k=e^{\,i(k-1)\pi/3}, \quad k=1,2,\dots,6.
Seja z o número complexo que representa P. As condições dadas são
|z - 1| = \frac{13}{12}, \qquad \Bigl|z - e^{\,i\pi/3}\Bigr| = \frac{5}{12}.
Escrevendo e^{\,i\pi/3}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i, subtraímos os quadrados para obter uma equação linear em \Re z e \Im z. O cálculo (que envolve expandir (z-1)(\overline z-1) e (z-e^{i\pi/3})(\overline z-e^{-i\pi/3}) e subtrair) leva a
\sqrt3\,\Im z \;-\;\Re z \;=\;1,
e substituindo num dos módulos quadrados achamos
z=\frac{12+5\sqrt3}{24} \;+\; i\,\frac{12\sqrt3+5}{24}
ou o simétrico por reflexão (que dá os mesmos valores absolutos das distâncias).

Passo 3

Agora calculamos as distâncias
d_k = \bigl|\,z - A_k\bigr|, \quad k=3,4,5,6.
Fazendo a conta para cada A_k=e^{\,i(k-1)\pi/3} e simplificando, obtém-se exatamente as seguintes quatro expressões (todas positivas):
d_3 = \frac{\sqrt{169 + 60\sqrt3}}{12}, \quad d_4 = \frac{\sqrt{457 + 60\sqrt3}}{12},
d_5 = \frac{\sqrt{169 - 60\sqrt3}}{12}, \quad d_6 = \frac{\sqrt{457 - 60\sqrt3}}{12}.

Resposta

As distâncias de P aos quatro vértices restantes são
\boxed{ \frac{\sqrt{169 + 60\sqrt3}}{12},\quad \frac{\sqrt{457 + 60\sqrt3}}{12},\quad \frac{\sqrt{169 - 60\sqrt3}}{12},\quad \frac{\sqrt{457 - 60\sqrt3}}{12}. }

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