(ITA-2004) Considere um poligono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razlo igual a 5^{\circ}. Entaio, seu maior angulo mede, cm graus.
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150

Passo 1

O enunciado fala de um polígono convexo de 9 lados (uma nonágono) cujos ângulos internos formam uma progressão aritmética de razão 5^\circ. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é
(n-2)\cdot180^\circ.
Aqui n=9, então a soma é (9-2)\cdot180^\circ=7\cdot180^\circ=1260^\circ. Vamos usar a fórmula da soma de uma PA para encontrar o primeiro termo, e daí obter o maior ângulo.

Passo 2

Sejam os ângulos internos
a,\;a+5^\circ,\;a+2\cdot5^\circ,\;\dots,\;a+8\cdot5^\circ.
9 termos. A soma de uma PA de n termos, primeiro termo a e razão d é
S = \frac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)d\bigr).
Substituindo n=9, d=5^\circ e S=1260^\circ, vem
1260 = \frac{9}{2}\bigl(2a + 8\cdot5^\circ\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 1260 = \frac{9}{2}\bigl(2a + 40^\circ\bigr).

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e depois dividindo por 9:
2520 = 9\bigl(2a + 40^\circ\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 280 = 2a + 40^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2a = 240^\circ \quad\Longrightarrow\quad a = 120^\circ.

Passo 4

O maior ângulo é o último termo da PA, que é
a + 8\cdot5^\circ = 120^\circ + 40^\circ = 160^\circ.

Resposta

O maior ângulo mede 160^\circ.

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