(Itália-2001) Em um hexágono equiângulo, as medidas de quatro lados consecutivos sâo, nesta ordem, 5, 3, 6 e 7. Determine as medidas dos outros dois lados.

Passo 1

O enunciado fala de um hexágono equiângulo (todos os ângulos internos iguais a 120^\circ), cujos quatro lados consecutivos têm comprimentos 5, 3, 6 e 7. Como num polígono equiângulo o vetor de cada lado se “vira” sempre 60^\circ no mesmo sentido, podemos modelar esses vetores no plano complexo e usar a condição de que a soma vetorial dos seis lados deve ser zero para encontrar os dois lados faltantes.

Passo 2

Escolhemos como primeiro lado o vetor
5\,e^{i\cdot 0}=5.
O segundo lado é
3\,e^{i\pi/3},
o terceiro
6\,e^{i2\pi/3},
e o quarto
7\,e^{i\pi}.
Se chamarmos de a_5 e a_6 os comprimentos do quinto e do sexto lados, seus vetores são
a_5\,e^{i4\pi/3} \quad\text{e}\quad a_6\,e^{i5\pi/3},
respectivamente. A soma de todos deve dar zero.

Passo 3

Calculamos primeiro
S = 5 + 3\,e^{i\pi/3} + 6\,e^{i2\pi/3} + 7\,e^{i\pi}.
Usando
\displaystyle e^{i\pi/3}=\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2},
\displaystyle e^{i2\pi/3}=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2} e
\displaystyle e^{i\pi}=-1,
obtemos
S = -\frac{7}{2} \;+\; i\,\frac{9\sqrt3}{2}.

Passo 4

Como a soma total tem de ser zero,
5 + 3e^{i\pi/3}+6e^{i2\pi/3}+7e^{i\pi} \;+\;a_5e^{i4\pi/3}+a_6e^{i5\pi/3} \;=\;0,
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a_5e^{i4\pi/3}+a_6e^{i5\pi/3} \;=\; -S \;=\;\frac{7}{2}\;-\;i\,\frac{9\sqrt3}{2}.
Escrevendo partes real e imaginária:
Real:
-\frac{a_5}{2}+\frac{a_6}{2} = \frac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad a_6 - a_5 = 7.
Imaginário:
-\frac{\sqrt3}{2}a_5 \;-\;\frac{\sqrt3}{2}a_6 = -\frac{9\sqrt3}{2} \quad\Longrightarrow\quad a_5 + a_6 = 9.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a_6 - a_5 = 7,\\\ a_5 + a_6 = 9, \end{cases}
temos
2a_6 = 16\;\Rightarrow\;a_6 = 8, \quad a_5 = 9 - 8 = 1.

Resposta

As medidas dos outros dois lados são a_5 = 1 e a_6 = 8.

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