(Itália-2001) Em um hexágono equiângulo, as medidas de quatro lados consecutivos sâo, nesta ordem, 5, 3, 6 e 7. Determine as medidas dos outros dois lados.
Passo 1
O enunciado fala de um hexágono equiângulo (todos os ângulos internos iguais a
), cujos quatro lados consecutivos têm comprimentos
,
,
e
. Como num polígono equiângulo o vetor de cada lado se “vira” sempre
no mesmo sentido, podemos modelar esses vetores no plano complexo e usar a condição de que a soma vetorial dos seis lados deve ser zero para encontrar os dois lados faltantes.
Passo 2
Escolhemos como primeiro lado o vetor
O segundo lado é
o terceiro
e o quarto
Se chamarmos de
e
os comprimentos do quinto e do sexto lados, seus vetores são
respectivamente. A soma de todos deve dar zero.
Passo 3
Calculamos primeiro
Usando
,
e
,
obtemos
obtemos
Passo 4
Como a soma total tem de ser zero,
logo
Escrevendo partes real e imaginária:
Real:
Real:
Imaginário:
Passo 5
Resolvendo o sistema
temos
Resposta
As medidas dos outros dois lados são
e
.