Certo número é composto de três unidades de oitava ordem, duas de sétima, uma de quinta, cinco de quarta e duas de terceira. Escreva o algarismo das unidades de primeira ordem, de modo que o número seja ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9.

Passo 1

O enunciado diz que temos um número cujos dígitos, de maior para menor ordem, são: três unidades da 8ª ordem, duas da 7ª, nenhuma da 6ª, uma da 5ª, cinco da 4ª, duas da 3ª, nenhuma da 2ª e uma incógnita da 1ª ordem. Queremos achar o dígito da 1ª ordem (unidades) de modo que o número seja ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9. Para resolver, vamos usar as regras de divisibilidade por 5 e por 9.

Passo 2

Escrevendo o número N em função do dígito das unidades u, e lembrando que nas ordens não mencionadas o dígito é zero, temos:
N = 3cdot10^7 + 2cdot10^6 + 0cdot10^5 + 1cdot10^4 + 5cdot10^3 + 2cdot10^2 + 0cdot10^1 + u
As casas decimais são então (3,2,0,1,5,2,0,u).

Passo 3

Para ser divisível por 5, o último dígito deve ser 0 ou 5. Portanto
u in 0,5

Passo 4

Para ser divisível por 9, a soma dos dígitos deve ser múltiplo de 9. A soma dos dígitos fixos é
3 + 2 + 0 + 1 + 5 + 2 + 0 = 13,
logo a soma total é 13 + u. Queremos
13 + u equiv 0 pmod9 Longrightarrow u equiv -13 equiv 5 pmod9
Entre 0,5, o único valor que satisfaz uequiv5pmod9 é u=5.

Resposta

O dígito das unidades de primeira ordem é 5.

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