(Cesgranrio-88) Seja N um inteiro tal que 200<N<300; seja igual a 2 o resto da divisão de N por 3, por 5 ou por 8. Então a soma dos algarismos de N é:
a) 5
b) 7
c) 8
d) 10
e) 12

Passo 1

O enunciado diz que existe um inteiro N tal que 200<N<300 e que, ao dividir N por 3, por 5 ou por 8, o resto é sempre 2. O conteúdo aqui é sistemas de congruências e o Teorema Chinês dos Restos (ou cálculo de mínimo múltiplo). Vamos usar essas ideias para encontrar N e depois somar seus algarismos.

Passo 2

As condições de resto igual a 2 podem ser escritas como
Nequiv2pmod3, Nequiv2pmod5, Nequiv2pmod8
Isso implica que N-2 é múltiplo de 3, de 5 e de 8, logo é múltiplo do mínimo múltiplo comum:
lcm(3,5,8)=120,
isto é,
N-2=120k, kinZ,
portanto
N=120k+2

Passo 3

Como 200<N<300, testamos valores inteiros de k:
  • Para k=1 temos N=122 (menor que 200).
  • Para k=2 temos N=242 (entre 200 e 300).
  • Para k=3 temos N=362 (maior que 300).
    Logo o único valor possível é N=242.

Passo 4

Agora somamos os algarismos de N=242:
2+4+2=8

Resposta

c) 8

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