(Cesgranrio-88) Seja N um inteiro tal que
; seja igual a 2 o resto da divisão de N por 3, por 5 ou por 8. Então a soma dos algarismos de
é:
a) 5
b) 7
c) 8
d) 10
e) 12
a) 5
b) 7
c) 8
d) 10
e) 12
Passo 1
O enunciado diz que existe um inteiro
tal que
e que, ao dividir
por 3, por 5 ou por 8, o resto é sempre 2. O conteúdo aqui é sistemas de congruências e o Teorema Chinês dos Restos (ou cálculo de mínimo múltiplo). Vamos usar essas ideias para encontrar
e depois somar seus algarismos.
Passo 2
As condições de resto igual a 2 podem ser escritas como
Isso implica que
é múltiplo de 3, de 5 e de 8, logo é múltiplo do mínimo múltiplo comum:
isto é,
portanto
Passo 3
Como
, testamos valores inteiros de
:
- Para
temos (menor que 200). - Para
temos (entre 200 e 300). - Para
temos (maior que 300).
Logo o único valor possível é.
Passo 4
Agora somamos os algarismos de
:
Resposta
c) 8