Determine o menor número natural que dividido por 12,20 e 38 dá o mesmo resto 10.
11.50

Passo 1

O enunciado pede o menor número natural N que, ao ser dividido por 12, por 20 e por 38, deixa sempre o mesmo resto 10. O conteúdo necessário é teoria de congruências e cálculo de mínimo múltiplo comum (MMC).

Passo 2

Traduzimos a condição em congruências:
N equiv 10 pmod12, N equiv 10 pmod20, N equiv 10 pmod38

Passo 3

Cada congruência implica que N-10 é divisível por cada módulo, ou seja,
N - 10 é mú<iplo comum de 12,,20 e 38 éú

Passo 4

Para achar o menor múltiplo comum, calculamos
lcm(12,20,38)

Passo 5

Fatorando cada número:
12 = 2^2cdot 3, 20 = 2^2cdot 5, 38 = 2cdot 19,
então
lcm(12,20,38) = 2^2cdot 3cdot 5cdot 19 = 1140

Passo 6

A solução geral das congruências é
N = 1140k + 10, kinN
Para obter o menor N que seja maior que os divisores (e não seja trivial N=10), tomamos k=1 e obtemos
N = 1140cdot1 + 10 = 1150

Resposta

1150

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