Mostre que tau(n)=2 se, e somente se, n é primo.

Passo 1

O enunciado define tau(n) como o número de divisores positivos de n e pede para mostrar que
tau(n)=2
se, e somente se, n é primo. Vamos usar a definição de número primo: inteiro maior que 1 cujo único divisores positivos são 1 e ele mesmo.

Passo 2

(Se n é primo então tau(n)=2)
Suponha que n é primo. Por definição, os únicos divisores positivos de n são 1 e n. Portanto o conjunto de divisores é 1,n, de modo que
tau(n)=2

Passo 3

(Se tau(n)=2 então n é primo)
Suponha tau(n)=2. Isso significa que há exatamente dois divisores positivos de n. Um deles é 1 e o outro só pode ser n, pois não há nenhum d com 1<d<n que divida n. Logo n>1 e seus únicos divisores são 1 e n, ou seja, n satisfaz a definição de primo.

Resposta

Ficou demonstrado que tau(n)=2 se, e somente se, n é primo.

Exercícios de Livros Relacionados