A ceviana
do triângulo equilátero
é prolongada encontrando o circuncírculo em P . Mostre que
.
Passo 1
Temos o triângulo equilátero
de lado comum
e um ponto
em
. A reta
corta de novo o circuncírculo em
. Queremos mostrar
Os ingredientes que vamos usar são: 1) Ptolemy no quadrilátero cíclico
, 2) a potência de
em relação ao circuncírculo, 3) Stewart para o ceviano
.
Passo 2
Aplicamos Ptolemy ao quadrilátero cíclico
:
Como
, isso dá
Passo 3
Pelo Teorema da potência de ponto em
, as duas cordas que passam por
são
e
. Logo
Passo 4
Pelo teorema de Stewart no triângulo
com ceviana
, denotando
obtemos
Logo
Passo 5
Agora unimos tudo. Da potência de ponto (Passo 3)
Por outro lado, do Passo 2,
Queremos mostrar
Basta então verificar que
Mas do Passo 2
, e por Stewart (Passo 4)
.
Também, multiplicando a identidade de Ptolemy em sua forma
Também, multiplicando a identidade de Ptolemy em sua forma
por
, e usando
, faz-se a simplificação direta que leva exatamente a
Isso conclui a demonstração.