(IME-67) Um trapézio de vértices A B C D está inscrito em um círculo, de raio R, sendo A B=R e \mathrm{CD}=2 \mathrm{R} lados não paralelos. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos internos do trapézio, de modo que a bissetriz de A intercepta a de D no ponto Q , a de B intercepta a de C no ponto N e a de C intercepta a de D no ponto M . Sabendo que os pontos \mathrm{M}, \mathrm{N} e Q são interiores ao trapézio ABCD e que o ponto P é a interseção das bissetrizes de A e B , determine a relação entre as áreas dos polígonos MNPQ e ABCD.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio ABCD inscrito num círculo de raio R, com AB e CD paralelos e de comprimentos AB=R, CD=2R. Traçam-se as bissetrizes internas de cada ângulo, que se intersectam em quatro pontos P,Q,M,N conforme indicado. Queremos a razão entre a área do quadrilátero MNPQ e a área de ABCD. Para isso, vamos usar coordenadas, equações de retas-bissetriz (soma de vetores unitários), achar as interseções e calcular áreas por fórmula de Gauss (shoelace).

Passo 2

Colocamos o centro do círculo em O=(0,0) e tomamos R=1 (a razão final independe de R). Como CD=2 é diâmetro horizontal, escolhemos
C=(1,0),\quad D=(-1,0),
e como AB=1 é paralelo a CD e está acima, temos
A=\Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}2\Bigr),\quad B=\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}2\Bigr).
O trapézio assim definido tem altura h=\tfrac{\sqrt3}2 e bases 1 e 2.

Passo 3

A bissetriz interna do ângulo em A é a reta que sai de A na direção unitária dada pela soma dos vetores unitários ao longo de AB e de AD. Calcula-se essa direção como
u_A=\Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr),
logo a reta é
\ell_A: \;X=A+t\,u_A,\; t>0.
Analogamente, a bissetriz em B sai de B na direção
u_B=\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr),
logo
\ell_B: \;X=B+s\,u_B,\; s>0.
As retas \ell_A e \ell_B cortam-se em
P=(0,0),
que de fato é o centro O.

Passo 4

Repetimos o processo para achar
– a bissetriz em D com direção
u_D=\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2,\;\tfrac12\Bigr)
e a de A (já em \ell_A): elas se intersectam em
Q=\Bigl(-\tfrac14,\;\tfrac{\sqrt3}4\Bigr).
– a bissetriz em C com direção
u_C=\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2,\;\tfrac12\Bigr)
e a de B: encontro
N=\Bigl(\tfrac14,\;\tfrac{\sqrt3}4\Bigr).
– a bissetriz em C ( u_C) e em D ( u_D): encontro
M=\Bigl(0,\;\tfrac1{\sqrt3}\Bigr).

Passo 5

Calculamos a área de MNPQ por shoelace com vértices na ordem P\,(0,0), N, M, Q, obtendo
\bigl[MNPQ\bigr] =\tfrac12\Bigl|\sum x_i\,y_{i+1}-\sum y_i\,x_{i+1}\Bigr| =\frac1{4\sqrt3}.
A área de ABCD é a do trapézio de bases 1 e 2 e altura \tfrac{\sqrt3}2:
\bigl[ABCD\bigr] =\frac{1+2}2\cdot\frac{\sqrt3}2 =\frac{3\sqrt3}4.
Logo a razão pedida é
\frac{\bigl[MNPQ\bigr]}{\bigl[ABCD\bigr]} =\frac{\tfrac1{4\sqrt3}}{\tfrac{3\sqrt3}4} =\frac1{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{[MNPQ]}{[ABCD]}=\frac19.

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