(IME-69) Um quadrilátero inscritível e circunscritivel tem um lado igual a 5 metros, área 6 \sqrt{5} metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero.
Passo 1
O enunciado fornece um quadrilátero bicêntrico (inscritível e circunscritível) com um lado a=5, área K=6\sqrt{5} e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Para resolver, vamos usar:
– a condição de Pitot para quadrilátero tangencial (a+c=b+d),
– a fórmula de Brahmagupta para área de quadrilátero cíclico (K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)),
– o teorema de Ptolemeu para quadrilátero cíclico (ef=ac+bd),
– e a relação de proporção das diagonais.
Passo 2
Da condição de Pitot a+c=b+d com a=5 segue
d = c +5 - b.
O semiperímetro é
s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{5 + b + c + (c+5-b)}{2} = c+5,