(IME-69) Um quadrilátero inscritível e circunscritivel tem um lado igual a 5 metros, área 6 \sqrt{5} metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero.

Passo 1

O enunciado fornece um quadrilátero bicêntrico (inscritível e circunscritível) com um lado a=5, área K=6\sqrt{5} e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Para resolver, vamos usar:
– a condição de Pitot para quadrilátero tangencial ( a+c=b+d),
– a fórmula de Brahmagupta para área de quadrilátero cíclico ( K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)),
– o teorema de Ptolemeu para quadrilátero cíclico ( ef=ac+bd),
– e a relação de proporção das diagonais.

Passo 2

Da condição de Pitot a+c=b+d com a=5 segue
d = c +5 - b.
O semiperímetro é
s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{5 + b + c + (c+5-b)}{2} = c+5,
e aplicando Brahmagupta,
K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) = \bigl((c+5)-5\bigr)\bigl((c+5)-b\bigr)\bigl((c+5)-c\bigr)\bigl((c+5)-(c+5-b)\bigr) = c\,(c+5-b)\,5\,b.
Como K^2=(6\sqrt{5})^2=180, temos
b\,c\,(c+5-b)=36.

Passo 3

Em todo quadrilátero cíclico vale Ptolemeu:
e\,f = a\,c + b\,d = 5c + b(c+5-b).
Como as diagonais são inversamente proporcionais a 9 e 3, temos
e : f = \tfrac{1}{9} : \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad f = 3e,
logo
e\,f = 3e^2.
Além disso, como a área pode ser escrita por
K = \tfrac12\,e\,f\,\sin\theta \le \tfrac12\,e\,f,
segue
e\,f \ge 2K = 12\sqrt{5}\approx26{,}83.
Por outro lado e\,f = a\,c + b\,d é inteiro, então o menor valor inteiro compatível é e\,f=27. Daí
3e^2 = 27 \quad\Longrightarrow\quad e=3,\; f=9.

Passo 4

Substituindo e\,f=27 em Ptolemeu obtém-se
5c + b(c+5-b) = 27.
Assim o sistema a resolver é
\begin{cases} b\,c\,(c+5-b)=36,\\\\ 5c + b(c+5-b)=27. \end{cases}

Passo 5

Testando divisores de 36 para b e c (valores inteiros positivos), encontramos
b=2,\quad c=3,
e então
d = c+5-b = 3+5-2 = 6.

Resposta

Os outros lados medem 2, 3 e 6 metros.

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