M, N, P e Q são os pontos médios dos lados do quadrilátero convexo ABCD . Provar que a área de MNPQ é igual à metade da área de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrilátero convexo
e os pontos médios
,
,
,
de
,
,
,
, respectivamente. Queremos mostrar que
Para isso, usaremos geometria vetorial e a expressão da área de um paralelogramo pelo módulo do produto vetorial de dois lados.
Passo 2
Escolhemos
como origem do sistema de vetores e definimos
Assim, os vetores posição dos vértices ficam
,
,
,
.
Passo 3
Como
é o ponto médio de
, temos
De modo análogo,
Passo 4
Os vetores que dão os lados do paralelogramo
a partir de
são
Passo 5
A área de
é o módulo do produto vetorial desses dois lados:
Passo 6
A área de
pode ser vista como a soma das áreas dos triângulos
e
:
Somando,
Passo 7
Comparando as expressões de
á e
á , vemos que
Resposta
A área do paralelogramo
é igual à metade da área de
.