M, N, P e Q são os pontos médios dos lados do quadrilátero convexo ABCD . Provar que a área de MNPQ é igual à metade da área de A B C D.

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrilátero convexo ABCD e os pontos médios M, N, P, Q de AB, BC, CD, DA, respectivamente. Queremos mostrar que
\text{área}(MNPQ)=\tfrac12\,\text{área}(ABCD).áá
Para isso, usaremos geometria vetorial e a expressão da área de um paralelogramo pelo módulo do produto vetorial de dois lados.

Passo 2

Escolhemos A como origem do sistema de vetores e definimos
\vec b=\overrightarrow{AB},\quad \vec c=\overrightarrow{AC},\quad \vec d=\overrightarrow{AD}.
Assim, os vetores posição dos vértices ficam \mathbf{A}=0, \mathbf{B}=\vec b, \mathbf{C}=\vec c, \mathbf{D}=\vec d.

Passo 3

Como M é o ponto médio de AB, temos
\overrightarrow{AM}=\tfrac12\,\overrightarrow{AB}=\tfrac{\vec b}{2}.
De modo análogo,
\overrightarrow{AN}=\tfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2} =\tfrac{\vec b+\vec c}{2},\quad \overrightarrow{AQ}=\tfrac{\overrightarrow{AD}}{2}=\tfrac{\vec d}{2}.

Passo 4

Os vetores que dão os lados do paralelogramo MNPQ a partir de M são
\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac{\vec b+\vec c}{2}-\frac{\vec b}{2} =\frac{\vec c}{2},
\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM} =\frac{\vec d}{2}-\frac{\vec b}{2} =\frac{\vec d-\vec b}{2}.

Passo 5

A área de MNPQ é o módulo do produto vetorial desses dois lados:
\text{área}(MNPQ) =\bigl\lvert\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MQ}\bigr\rvert =\Bigl\lvert\frac{\vec c}{2}\times\frac{\vec d-\vec b}{2}\Bigr\rvert =\frac{1}{4}\,\bigl\lvert \vec c\times(\vec d-\vec b)\bigr\rvert.á

Passo 6

A área de ABCD pode ser vista como a soma das áreas dos triângulos ABC e ADC:
\text{área}(ABC)=\frac12\bigl\lvert\vec b\times\vec c\bigr\rvert,\quad \text{área}(ADC)=\frac12\bigl\lvert\vec c\times\vec d\bigr\rvert.áá
Somando,
\text{área}(ABCD) =\tfrac12\bigl(\lvert\vec b\times\vec c\rvert+\lvert\vec c\times\vec d\rvert\bigr) =\frac12\,\bigl\lvert \vec b\times\vec c+\vec c\times\vec d\bigr\rvert =\frac12\,\bigl\lvert \vec c\times(\vec d-\vec b)\bigr\rvert.á

Passo 7

Comparando as expressões de \text{área}(MNPQ)á e \text{área}(ABCD)á, vemos que
\text{área}(MNPQ) =\frac{1}{4}\,\bigl\lvert \vec c\times(\vec d-\vec b)\bigr\rvert =\frac12\;\frac12\,\bigl\lvert \vec c\times(\vec d-\vec b)\bigr\rvert =\frac12\,\text{área}(ABCD).áá

Resposta

A área do paralelogramo MNPQ é igual à metade da área de ABCD.

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