Num cilindro de raio
inscreve-se uma esfera. Mostre que a razão entre o volume da esfera e o do cilindro é
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um cilindro de raio
no qual está inscrita uma esfera de mesmo raio
. O conteúdo é cálculo de volumes de sólidos: vamos usar a fórmula do volume de um cilindro e a fórmula do volume de uma esfera para, depois, obter a razão pedida.
Passo 2
Para a esfera caber exatamente dentro do cilindro, sua altura (que é o diâmetro da esfera) deve coincidir com a altura do cilindro. Como o raio da esfera é
, o diâmetro vale
. Logo, a altura do cilindro é
Passo 3
O volume de um cilindro é dado por área da base vezes altura. A base é um círculo de raio
, então
Substituindo
,
Passo 4
O volume de uma esfera de raio
é uma fórmula clássica:
Passo 5
Agora calculamos a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro:
Resposta
A razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro é
.