Num cilindro de raio r inscreve-se uma esfera. Mostre que a razão entre o volume da esfera e o do cilindro é 23.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro de raio r no qual está inscrita uma esfera de mesmo raio r. O conteúdo é cálculo de volumes de sólidos: vamos usar a fórmula do volume de um cilindro e a fórmula do volume de uma esfera para, depois, obter a razão pedida.

Passo 2

Para a esfera caber exatamente dentro do cilindro, sua altura (que é o diâmetro da esfera) deve coincidir com a altura do cilindro. Como o raio da esfera é r, o diâmetro vale 2r. Logo, a altura do cilindro é
h = 2r

Passo 3

O volume de um cilindro é dado por área da base vezes altura. A base é um círculo de raio r, então
Vcil = pi r^2 ,h
Substituindo h=2r,
Vcil = pi r^2 ,(2r) = 2pi r^3

Passo 4

O volume de uma esfera de raio r é uma fórmula clássica:
Vesf = 43,pi r^3

Passo 5

Agora calculamos a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro:
VesfVcil = 43pi r^32pi r^3 = 43cdot12 = 23

Resposta

A razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro é 23.

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