Dá-se a altura h de uma pirâmide regular de base quadrada e constrói-se sobre a base um cubo, de modo que a face oposta à base corte a pirâmide num quadrado de lado a. Calcule o lado da base da pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular de base quadrada com lado da base s (a descobrir) e altura h. Sobre essa base constrói-se um cubo de aresta também s, de modo que a face superior do cubo, situada no plano z=s, corta a pirâmide em um quadrado de lado a. Vamos usar semelhança de seções transversais quadradas da pirâmide para relacionar s, h e a.

Passo 2

Num corte vertical que passa pelo centro, a pirâmide forma dois triângulos semelhantes: o maior, de base s e altura h, e um menor, de base igual ao lado da seção quadrada a uma altura z qualquer. Por semelhança,
lado da seção em zs ;=; 1-zh çã
Como estamos interessados na seção à altura z=s (topo do cubo), seu lado vale
a = sl(1-shr)

Passo 3

Reescrevendo a = s - s^2h obtemos a equação quadrática em s:
s^2h-s + a = 0 Longrightarrow s^2 - hs + ah = 0

Passo 4

Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
s = h pm raizh^2 - 4ah2
Fisicamente s deve ficar entre 0 e h, logo escolhemos a raiz com sinal --:

Resposta

s = h - raiz,h^2 - 4ah,2

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