Escolha 4 dos vértices de um cubo, de modo a formar um tetraedro regular. Sendo V o volume do cubo, qual o volume desse tetraedro?

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tetraedro regular obtido escolhendo 4 vértices de um cubo de volume V. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço (uso de coordenadas para achar distâncias) e aplicação da fórmula do volume de um tetraedro regular.

Passo 2

Seja a a aresta do cubo. Então
Vcubo=a^3=V
Para exhibir o tetraedro regular, use o sistema de coordenadas e tome os vértices
(0,0,0),
(a,a,0),
(a,0,a)
e
(0,a,a).
A distância entre quaisquer dois desses pontos é, por exemplo, entre (0,0,0) e (a,a,0):
raiz(a-0)^2+(a-0)^2+(0-0)^2=raiz2a^2=araiz2
Uma checagem semelhante mostra que todas as arestas têm comprimento
ell = araiz2,
portanto formam um tetraedro regular de aresta ell.

Passo 3

A fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta ell é
Vtetra=ell^36raiz2
Substituindo ell=araiz2 temos
Vtetra =(araiz2)^36raiz2 =2raiz2,a^36raiz2 =a^33

Passo 4

Como a^3=V, concluímos que o volume do tetraedro é
Vtetra=V3

Resposta

V3

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