Escolha 4 dos vértices de um cubo, de modo a formar um tetraedro regular. Sendo V o volume do cubo, qual o volume desse tetraedro?
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tetraedro regular obtido escolhendo 4 vértices de um cubo de volume
. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço (uso de coordenadas para achar distâncias) e aplicação da fórmula do volume de um tetraedro regular.
Passo 2
Seja
a aresta do cubo. Então
Para exhibir o tetraedro regular, use o sistema de coordenadas e tome os vértices
,
,
e
.
A distância entre quaisquer dois desses pontos é, por exemplo, entre e
:
e
A distância entre quaisquer dois desses pontos é, por exemplo, entre
Uma checagem semelhante mostra que todas as arestas têm comprimento
portanto formam um tetraedro regular de aresta
.
Passo 3
A fórmula do volume de um tetraedro regular de aresta
é
Substituindo
temos
Passo 4
Como
, concluímos que o volume do tetraedro é