(UF-CE) Num círculo de diâmetro medindo 16 cm , uma corda com comprimento igual a 6 cm é dividida por um ponto X, na razão 2:1. A distância do ponto X ao centro do círculo, medida em centímetros, é:
a) raiz57
b) raiz56
c) raiz55
d) raiz54
e) raiz53

Passo 1

O enunciado diz que temos um círculo de diâmetro 16 cm (logo raio R=8 cm) e uma corda AB de comprimento 6 cm. Um ponto X sobre essa corda divide AB na razão AX:XB = 2:1. Precisamos achar a distância do ponto X ao centro O do círculo. Vamos usar geometria analítica: posicionar o círculo em um plano cartesiano, achar coordenadas de A, B e X, e então calcular OX.

Passo 2

Primeiro colocamos o centro do círculo em O=(0,0) e a corda AB paralela ao eixo x. Como AB=6, cada metade mede 3, e a distância d do centro à reta que contém AB satisfaz
d^2 + 3^2 = R^2 = 8^2 = 64,
logo
d = raiz64 - 9 = raiz55
Assim, escolhemos
A = (-3,raiz55), B = (3,raiz55)

Passo 3

O ponto X divide AB na razão AX:XB = 2:1. Pela fórmula de seção interna, as coordenadas de X são
X = l(tfrac1cdot(-3) + 2cdot 31+2, ; tfrac1cdotraiz55 + 2cdotraiz551+2r) = l(tfrac-3 + 63,,raiz55r) = (1,raiz55)

Passo 4

Agora basta calcular a distância de X=(1,raiz55) até O=(0,0):
OX = raiz1^2 + (raiz55)^2 = raiz1 + 55 = raiz56

Resposta

raiz56 (alternativa b)

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