Obtenha a função inversa das seguintes funções:
f: R--1 R-2
f(x)=2 x+3x+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
;fcolon Rsetminus-1to Rsetminus2
definida por
f(x)=2x+3x+1
Queremos encontrar a função inversa f^-1. Para isso, vamos usar a ideia de trocar x por y, resolver em função de y e depois renomear.

Passo 2

Definimos
y = 2x+3x+1,
com xneq -1. Agora multiplicamos ambos os lados por (x+1) para eliminar o denominador:
y,(x+1)=2x+3

Passo 3

Distribuindo o lado esquerdo e recolhendo os termos com x num mesmo membro, temos
yx + y = 2x + 3 Longrightarrow yx - 2x = 3 - y

Passo 4

Fatoramos x no lado esquerdo:
x,(y - 2) = 3 - y Longrightarrow x = 3 - yy - 2,
com yneq 2 (porque y-2 não pode ser zero, já que a imagem de f exclui 2).

Passo 5

Para escrever a inversa, trocamos y por x. Assim obtemos
f^-1(x) = 3 - x,x - 2,,
com domínio Rsetminus2. Note que essa função nunca assume o valor -1, compatível com o domínio original de f.

Resposta

f^-1(x) = 3 - xx - 2

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