Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
I) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano.
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes.
b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano.
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela está contida no plano.
f) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
g) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.
h) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano.
i) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano.
j) Duas retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas é perpendicular ao plano.
k) Duas retas não paralelas entre si são paralelas a um plano. Se uma reta forma ângulo reto com as duas, então ela é perpendicular ao plano.
m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele.
n) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, são paralelos.
I) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano.
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes.
b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano.
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela está contida no plano.
f) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
g) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.
h) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano.
i) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano.
j) Duas retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas é perpendicular ao plano.
k) Duas retas não paralelas entre si são paralelas a um plano. Se uma reta forma ângulo reto com as duas, então ela é perpendicular ao plano.
m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele.
n) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, são paralelos.
Passo 1
O enunciado pede para classificar várias afirmações sobre retas e planos em verdadeiro (V) ou falso (F). O conteúdo principal é geometria no espaço envolvendo as definições de paralelismo e perpendicularidade entre reta e plano. Para resolver, vamos usar as propriedades:
Passo 2
Definições usadas:
– Uma reta é perpendicular a um plano
se e somente se
intersecta
e é perpendicular a toda reta de
pelo ponto de interseção.
– Uma reta perpendicular a duas retas não paralelas de um plano é perpendicular a esse plano.
– Uma reta perpendicular a duas retas paralelas de um plano está contida nesse plano.
– Duas retas paralelas a um plano e não paralelas entre si formam um “plano direcional” paralelo ao dado; toda reta ortogonal às duas é perpendicular ao plano.
– Uma reta
– Uma reta perpendicular a duas retas não paralelas de um plano é perpendicular a esse plano.
– Uma reta perpendicular a duas retas paralelas de um plano está contida nesse plano.
– Duas retas paralelas a um plano e não paralelas entre si formam um “plano direcional” paralelo ao dado; toda reta ortogonal às duas é perpendicular ao plano.
Passo 3
Classificação direta:
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares, é necessário que sejam secantes (pois devem intersectar). Isso é a própria definição. V
m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Nem toda reta perpendicular à reta dada intersecta o plano num único ponto distinto; muitas cruzam o plano obliquamente. Logo a afirmação “toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele” é falsa. F
n) Uma reta e um plano, ambos perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, não se intersectam (resolvendo ), logo são paralelos. V
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares, é necessário que sejam secantes (pois devem intersectar). Isso é a própria definição. V
m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Nem toda reta perpendicular à reta dada intersecta o plano num único ponto distinto; muitas cruzam o plano obliquamente. Logo a afirmação “toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele” é falsa. F
n) Uma reta e um plano, ambos perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, não se intersectam (resolvendo
Passo 4
b) “Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.” Falsa, pois só é perpendicular às retas do plano que passem pelo ponto de interseção. F
c) “Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano.” Aqui “formar ângulo” usa projeção de direções, e uma reta plano forma
com qualquer direção do plano. V
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano (e que se intersectam), ela é perpendicular ao plano. V
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela intersecta ambas em dois pontos e, portanto, está contida no plano. V
c) “Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano.” Aqui “formar ângulo” usa projeção de direções, e uma reta
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano (e que se intersectam), ela é perpendicular ao plano. V
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela intersecta ambas em dois pontos e, portanto, está contida no plano. V
Passo 5
f) “Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.” É a mesma de d com outro termo: V
g) “Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.” Verdadeiro, pois ‘ortogonal’ só exige ângulo de entre direções; ela pode não intersectar o plano. V
h) “Dadas duas retas distintas de um plano, se outra reta é perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano.” Faltam condições de interseção em um mesmo ponto para garantir ao plano. F
i) “Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano.” Duas direções no plano geram seu subespaço, e a reta ortogonal a ambas é normal ao plano: V
g) “Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.” Verdadeiro, pois ‘ortogonal’ só exige ângulo de
h) “Dadas duas retas distintas de um plano, se outra reta é perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano.” Faltam condições de interseção em um mesmo ponto para garantir
i) “Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano.” Duas direções no plano geram seu subespaço, e a reta ortogonal a ambas é normal ao plano: V
Passo 6
j) Duas retas reversas paralelas a um plano têm direções independentes contidas num subespaço paralelo ao plano; uma reta ortogonal a ambas é normal e, portanto, perpendicular ao plano: V
k) Duas retas não paralelas entre si e paralelas a um plano geram um subespaço paralelo; se outra reta faz com ambas, é normal ao plano, logo perpendicular: V
k) Duas retas não paralelas entre si e paralelas a um plano geram um subespaço paralelo; se outra reta faz
Resposta
a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) V
k) V
m) F
n) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) V
k) V
m) F
n) V