Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre como pontos e retas determinam planos em geometria euclidiana é verdadeira ou falsa. Vamos usar estes fatos básicos:
. Um plano é determinado de forma única por três pontos não colineares.
. Um plano é determinado de forma única por uma reta e um ponto que não pertence a ela.
. Um plano é determinado de forma única por duas retas concorrentes.
. Um plano é determinado de forma única por duas retas paralelas.
Passo 2
a) “Três pontos distintos determinam um plano.”
Se os três pontos forem colineares (isto é, todos sobre uma mesma reta), então passam infinitos planos por essa reta. Logo, três pontos distintos _nem sempre_ determinam um único plano.
Portanto essa afirmação é falsa.
Se os três pontos forem colineares (isto é, todos sobre uma mesma reta), então passam infinitos planos por essa reta. Logo, três pontos distintos _nem sempre_ determinam um único plano.
Portanto essa afirmação é falsa.
Passo 3
b) “Um ponto e uma reta determinam um único plano.”
Se o ponto não estiver sobre a reta, vale o fato e existe de fato um único plano. Mas se o ponto pertencer à reta, então passam infinitos planos por essa reta. Como não há garantia de posição relativa, a afirmação é falsa.
Se o ponto não estiver sobre a reta, vale o fato
Passo 4
c) “Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.”
Duas retas paralelas e
já determinam um plano cada vez que lhes acrescentamos uma reta concorrente
. A reta
intersecta
num ponto e determina o plano
por
; ela intersecta
num ponto distinto e determina outro plano
por
. Esses dois planos são distintos (compartilham apenas
).
Logo, a afirmação é verdadeira.
Duas retas paralelas
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) “Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.”
– Se as três retas paralelas estiverem no mesmo plano, então há exatamente um plano que as contém.
– Se alguma delas não estiver coplanar com as outras, então cada par de retas paralelas gera um plano diferente, dando três planos no total.
Portanto a afirmação é verdadeira.
– Se as três retas paralelas estiverem no mesmo plano, então há exatamente um plano que as contém.
– Se alguma delas não estiver coplanar com as outras, então cada par de retas paralelas gera um plano diferente, dando três planos no total.
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 6
e) “Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.”
– Se cada par de retas se intersecta em pontos distintos , formam um triângulo cujas arestas estão todas num mesmo plano: há um único plano.
– Se as três retas se encontram num mesmo ponto, então cada par de retas define um plano diferente, somando três planos.
Não há outra possibilidade, logo a afirmação é verdadeira.
– Se cada par de retas se intersecta em pontos distintos
– Se as três retas se encontram num mesmo ponto, então cada par de retas define um plano diferente, somando três planos.
Não há outra possibilidade, logo a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) V
e) V
b) F
c) V
d) V
e) V