Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre como pontos e retas determinam planos em geometria euclidiana é verdadeira ou falsa. Vamos usar estes fatos básicos:
1. Um plano é determinado de forma única por três pontos não colineares.
2. Um plano é determinado de forma única por uma reta e um ponto que não pertence a ela.
3. Um plano é determinado de forma única por duas retas concorrentes.
4. Um plano é determinado de forma única por duas retas paralelas.

Passo 2

a) “Três pontos distintos determinam um plano.”
Se os três pontos forem colineares (isto é, todos sobre uma mesma reta), então passam infinitos planos por essa reta. Logo, três pontos distintos _nem sempre_ determinam um único plano.
Portanto essa afirmação é falsa.

Passo 3

b) “Um ponto e uma reta determinam um único plano.”
Se o ponto não estiver sobre a reta, vale o fato 2 e existe de fato um único plano. Mas se o ponto pertencer à reta, então passam infinitos planos por essa reta. Como não há garantia de posição relativa, a afirmação é falsa.

Passo 4

c) “Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.”
Duas retas paralelas r1 e r2 já determinam um plano cada vez que lhes acrescentamos uma reta concorrente s. A reta s intersecta r1 num ponto e determina o plano pi1 por r1,s; ela intersecta r2 num ponto distinto e determina outro plano pi2 por r2,s. Esses dois planos são distintos (compartilham apenas s).
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) “Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.”
– Se as três retas paralelas estiverem no mesmo plano, então há exatamente um plano que as contém.
– Se alguma delas não estiver coplanar com as outras, então cada par de retas paralelas gera um plano diferente, dando três planos no total.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 6

e) “Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.”
– Se cada par de retas se intersecta em pontos distintos A,B,C, formam um triângulo cujas arestas estão todas num mesmo plano: há um único plano.
– Se as três retas se encontram num mesmo ponto, então cada par de retas define um plano diferente, somando três planos.
Não há outra possibilidade, logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) V
e) V

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