CMRJ - O lucro L de uma empresa é dado por L=-x^2+8 x-7, onde x é a quantidade vendida. O lucro será positivo, se e somente se,
a) 2<x<5
b) x>7 ou x<1
c) 0<x<12
d) x>12
e) 1<x<7

Passo 1

O enunciado nos dá o lucro L como função quadrática em x:
L(x) = -x^2 + 8x - 7,
e pede os valores de x para os quais L(x) é positivo. Vamos usar inequação de segundo grau para determinar esse intervalo.

Passo 2

Escrevemos a condição de lucro positivo:
L(x)>0
Isto é,
-x^2 + 8x - 7 > 0
Para resolver, multiplicamos ambos os lados por -1 (lembrando de inverter o sinal da desigualdade):
x^2 - 8x + 7 < 0

Passo 3

Encontramos as raízes da equação associada
x^2 - 8x + 7 = 0
O discriminante é
De<a = (-8)^2 - 4cdot1cdot7 = 64 - 28 = 36,
logo as raízes são
x = 8 pm raiz362 = 8 pm 62,
isto é, x=1 e x=7.

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 em x^2-8x+7 é positivo, a parábola abre para cima e fica abaixo do eixo x (ou seja, negativa) entre as raízes. Portanto,
x^2 - 8x + 7 < 0 Long<=ftrightarrow 1 < x < 7

Resposta

1<x<7

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