O coeficiente angular da tratória em cada ponto da curva que esteja no primeiro quadrante é dado por \frac{d y}{d x}=\frac{-y}{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}. Mostrar que a superfície gerada pela revolução, em torno de O X, do arco que liga os pontos \left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right) é 2 \pi c\left(y_{1}-y_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a derivada da curva no primeiro quadrante como
\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}
e pede a área da superfície obtida ao girar o arco de (x_{1},y_{1}) a (x_{2},y_{2}) em torno do eixo OX. Vamos usar a fórmula da área de revolução
S = 2\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}} y \,\sqrt{1+\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calcular primeiro o termo dentro da raiz:
\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2} = \frac{y^{2}}{c^{2}-y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 1 + \bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2} = 1 + \frac{y^{2}}{c^{2}-y^{2}} = \frac{c^{2}-y^{2} + y^{2}}{c^{2}-y^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}-y^{2}}.
Logo,
\sqrt{1+\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}} = \frac{c}{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de S,
S = 2\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}} y \cdot \frac{c}{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}\;dx.
Para integrar em y, note que
dx = \frac{dy}{\frac{dy}{dx}} = \frac{dy}{-\tfrac{y}{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}} = -\frac{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}{y}\;dy.

Passo 4

Substituindo dx em termos de dy,
S = 2\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}} y \,\frac{c}{\sqrt{c^{2}-y^{2}}} \;\bigl(-\tfrac{\sqrt{c^{2}-y^{2}}}{y}\bigr)\,dy = 2\pi \int_{y_{1}}^{y_{2}} (-c)\;dy.
Como y_{1}>y_{2}, temos
S = -2\pi c \int_{y_{1}}^{y_{2}} dy = 2\pi c\,(y_{1}-y_{2}).

Resposta

A área da superfície gerada é
2\pi c\,(y_{1}-y_{2}).

Exercícios de Livros Relacionados