Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O Y, de cada uma das curvas seguintes
\quad x=y^{3}, de y=0 a y=3. Resp. \frac{1}{27} \pi\left[(730)^{\frac{3}{2}}-1\right].

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo OY, da curva dada por x=y^3 para y variando de 0 a 3. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de revolução. Para uma curva x=x(y) revolvida em torno do eixo y, a fórmula é:
S = 2\pi \int_{y=a}^{y=b} x(y)\,\sqrt{1 + \bigl(x'(y)\bigr)^2}\;dy.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de x em relação a y. Como x(y)=y^3, temos
x'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y^3\bigr)=3y^2.
Logo o integrando fica
x(y)\,\sqrt{1 + \bigl(x'(y)\bigr)^2} = y^3\,\sqrt{1 + (3y^2)^2} = y^3\,\sqrt{1 + 9y^4}.
Assim a área é
S = 2\pi \int_{0}^{3} y^3\,\sqrt{1 + 9y^4}\;dy.

Passo 3

Para resolver \displaystyle \int_{0}^{3} y^3\sqrt{1+9y^4}\,dy, fazemos a substituição
t = 1 + 9y^4, \quad dt = 36y^3\,dy \quad\Longrightarrow\quad y^3\,dy = \frac{dt}{36}.
Quando y=0, t=1; quando y=3, t=1+9\cdot3^4=730. O integral vira
\int_{0}^{3} y^3\sqrt{1+9y^4}\,dy = \frac{1}{36}\int_{1}^{730} t^{1/2}\,dt.

Passo 4

Integramos t^{1/2}:
\int t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}t^{3/2},
portanto
\frac{1}{36}\int_{1}^{730} t^{1/2}\,dt = \frac{1}{36}\cdot\frac{2}{3}\bigl[t^{3/2}\bigr]_{1}^{730} = \frac{1}{54}\bigl(730^{3/2}-1\bigr).

Passo 5

Voltando à área, multiplicamos por 2\pi:
S = 2\pi \cdot \frac{1}{54}\bigl(730^{3/2}-1\bigr) = \frac{\pi}{27}\bigl(730^{3/2}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}\pi\bigl(730^{3/2}-1\bigr)

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