Qual é o coeficiente do termo médio de (x^3+y^2)^10 ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente do termo médio na expansão de (x^3+y^2)^10. O conteúdo é o Teorema do Binômio de Newton, que nos diz como expandir l(a+br)^n em soma de termos da forma
binomnka^,n-kb^,k

Passo 2

Em l(x^3+y^2r)^10 10+1=11 termos. Como esse número é ímpar, o termo médio é o tfrac11+12=6º termo, correspondente a k=5 na fórmula geral.

Passo 3

O termo geral para k-ésimo índice é
binom10kl(x^3r)^10-kl(y^2r)^k
Escolhendo k=5 (6º termo), fica
binom105,(x^3)^5,(y^2)^5 =binom105,x^15,y^10

Passo 4

Calculando o coeficiente binomial,
binom105 = 10!5!,5! = 252

Resposta

O coeficiente do termo médio é 252.

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