No desenvolvimento de (x+1x)^2 n+1, n in N, pela formula do binômio de Newton, existe um termo que não depende de x ?

Passo 1

O enunciado pergunta se, ao desenvolver
(x+1x)^2n+1, ninN,
há algum termo que seja independente de x. Para isso, vamos usar a fórmula do binômio de Newton.

Passo 2

Pela fórmula do binômio, o termo genérico de índice k é
Tk = binom2n+1k;x^2n+1-k;gl(1xgr)^k

Passo 3

Dentro de Tk, a potência de x fica
x^2n+1-k;x^-,k = x^2n+1-2k

Passo 4

Para que Tk seja independente de x, precisamos de
2n+1 - 2k = 0 Longrightarrow k = 2n+12
Mas 2n+1 é ímpar, logo tfrac2n+12 não é inteiro. Como k deve ser um inteiro entre 0 e 2n+1, não existe valor de k que anule o expoente.

Resposta

Não existe termo independente de x no desenvolvimento de (x+1x)^2n+1.

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