Demonstre que:
binomn0+binomn1+ldots+binomni+ldots+binomnn=2^n, forall n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN,
sumi=0^nbinomni=2^n
O conteúdo fundamental aqui é o Teorema Binomial, que expressa a expansão de (x+y)^n em somatório de binomiais.

Passo 2

O Teorema Binomial diz que, para x,yinR e ninN,
(x+y)^n ;=; sumi=0^nbinomni,x^,n-i,y^,i

Passo 3

Bastando escolher x=1 e y=1 na fórmula acima, obtemos
(1+1)^n ;=; sumi=0^nbinomni,1^,n-i,1^,i ;=; sumi=0^nbinomni

Passo 4

Como (1+1)^n=2^n, concluímos que
sumi=0^nbinomni=2^n,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

binomn0+binomn1+cdots+binomnn=2^n

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