(Colégio Naval-2000/2001) Considere três quadrados de bases A B, C D e E F, respectivamente. Unindo-se o vértice A com \mathrm{F}, \mathrm{B} com C e D com E, observa-se que fica formado um triângulo retângulo. Pode-se afirmar que:
I - O perímetro do quadrado de maior lado é igual à soma dos perímetros dos outros dois quadrados.
II - A área do quadrado de maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados.
III - A diagonal do quadrado maior é igual à soma das diagonais dos outros dois quadrados. Logo, apenas:
a) A afirmativa I é verdadeira.
b) A afirmativa II é verdadeira.
c) A afirmativa III é verdadeira.
d) As afirmativas I e II são verdadeiras.
e) As afirmativas II e III são verdadeiras.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três quadrados cujos lados são os segmentos \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{EF}. Ao unir A a F, B a C e D a E, obtém-se um triângulo retângulo cujos lados valem exatamente esses comprimentos. Precisamos verificar as seguintes afirmações sobre perímetros, áreas e diagonais desses quadrados.
Passo 2
Denotemos
a = AB,\quad b = CD,\quad c = EF,
sendo c o maior deles (hipotenusa do triângulo retângulo). Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se
c^2 \;=\; a^2 + b^2.
Passo 3
Analisando I: “O perímetro do quadrado de maior lado é igual à soma dos perímetros dos outros dois.”
O perímetro de um quadrado de lado x é 4x, então I corresponderia a
4c \;=\; 4a + 4b \quad\Longleftrightarrow\quad c = a + b.
Como c^2 = a^2 + b^2 e a,b>0, não é verdade que c = a + b. Logo, I é falsa.
Passo 4
Analisando II: “A área do quadrado de maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois.”
A área de um quadrado de lado x é x^2, então II afirma
c^2 = a^2 + b^2,
o que coincide exatamente com o Teorema de Pitágoras. Portanto, II é verdadeira.
Passo 5
Analisando III: “A diagonal do quadrado maior é igual à soma das diagonais dos outros dois quadrados.”
A diagonal de um quadrado de lado x vale x\sqrt2. Assim III diz
c\sqrt2 = a\sqrt2 + b\sqrt2 \quad\Longleftrightarrow\quad c = a + b,
que já vimos ser falso. Logo, III é falsa.
Passo 6
Concluímos que apenas a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
b) A afirmativa II é verdadeira.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 51