(Colégio Naval-96/97) O número de trapézios distintos que se pode obter dispondo de 4, e apenas 4, segmentos de reta medindo, respectivamente, 1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm} e 5 cm é:
a) nenhum
b) um
c) dois
d) três
e) quatro

Passo 1

O enunciado dá quatro segmentos de comprimentos 1, 2, 4 e 5 centímetros e pede quantos trapézios não-degenerados podemos formar usando exatamente esses quatro como lados, de modo que haja exatamente um par de lados paralelos (as “bases”) e os outros dois sejam os “lados inclinados” (as “pernas”). Para existir um trapézio convexo e não-degenerado com bases de comprimentos a e b (assumindo a>b) e pernas de comprimentos c e d, é preciso e basta que
|\,c-d\,| < a - b < c + d.
Vamos testar todas as escolhas de duas medidas como bases.

Passo 2

Listamos as \binom{4}{2}=6 escolhas possíveis de bases e calculamos a diferença a-b (tomando a>b) e também |c-d| e c+d para as pernas restantes:
1. Bases (a,b)=(5,4), pernas \{1,2\}:
\;a-b=1, |c-d|=|1-2|=1, c+d=3.
Aqui 1 < 1 < 3 falha no estrito 1<1.
2. Bases (5,2), pernas \{1,4\}:
\;a-b=3, |c-d|=|1-4|=3, c+d=5.
Aqui 3 < 3 < 5 falha em 3<3.
3. Bases (5,1), pernas \{2,4\}:
\;a-b=4, |c-d|=|2-4|=2, c+d=6.
Aqui 2 < 4 < 6 é satisfeito.
4. Bases (4,2), pernas \{1,5\}:
\;a-b=2, |c-d|=|1-5|=4, c+d=6.
Aqui falha em |c-d|<a-b pois 4\not<2.
5. Bases (4,1), pernas \{2,5\}:
\;a-b=3, |c-d|=|2-5|=3, c+d=7.
Aqui 3 < 3 < 7 falha em 3<3.
6. Bases (2,1), pernas \{4,5\}:
\;a-b=1, |c-d|=|4-5|=1, c+d=9.
Aqui 1 < 1 < 9 falha em 1<1.

Passo 3

Das seis configurações, apenas a escolha de bases de comprimentos 5 e 1 com pernas de comprimentos 2 e 4 satisfaz a desigualdade estrita
|c-d| < a - b < c + d.
Isso garante trapézio convexo e não-degenerado.

Passo 4

Nenhuma outra combinação cumpre ambas as desigualdades estritas (sempre ocorre igualdade na parte menor, apontando degenera- ção com altura zero). Logo só existe um único trapézio válido.

Resposta

b) um

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