(Colégio Naval-96/97) O número de trapézios distintos que se pode obter dispondo de 4, e apenas 4, segmentos de reta medindo, respectivamente,
e 5 cm é:
a) nenhum
b) um
c) dois
d) três
e) quatro
a) nenhum
b) um
c) dois
d) três
e) quatro
Passo 1
O enunciado dá quatro segmentos de comprimentos
,
,
e
centímetros e pede quantos trapézios não-degenerados podemos formar usando exatamente esses quatro como lados, de modo que haja exatamente um par de lados paralelos (as “bases”) e os outros dois sejam os “lados inclinados” (as “pernas”). Para existir um trapézio convexo e não-degenerado com bases de comprimentos
e
(assumindo
) e pernas de comprimentos
e
, é preciso e basta que
Vamos testar todas as escolhas de duas medidas como bases.
Passo 2
Listamos as
escolhas possíveis de bases e calculamos a diferença
(tomando
) e também
e
para as pernas restantes:
Aqui
Aqui
Aqui
Aqui falha em
Aqui
Aqui
Passo 3
Das seis configurações, apenas a escolha de bases de comprimentos
e
com pernas de comprimentos
e
satisfaz a desigualdade estrita
Isso garante trapézio convexo e não-degenerado.
Passo 4
Nenhuma outra combinação cumpre ambas as desigualdades estritas (sempre ocorre igualdade na parte menor, apontando degenera- ção com altura zero). Logo só existe um único trapézio válido.
Resposta
b) um