(Colégio Naval-80/81) As bases de um trapézio isósceles medem 8 cm e 4 cm e a altura 6 cm . As diagonais desse trapézio dividem-no em quatro triângulo. A área, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}, de um dos triângulos que năo contêm nenhuma das bases é:
a) 8
b) 6
c) 9
d) 10
e) 12

Passo 1

O enunciado descreve um trapézio isósceles cujas bases medem 8 cm (base maior) e 4 cm (base menor) e cuja altura é 6 cm. As diagonais traçadas dividem o trapézio em quatro triângulos, e precisamos achar a área de um dos dois triângulos que não contêm nenhuma das bases (isto é, os triângulos centrais formados pela interseção das diagonais). Para resolver vamos usar: cálculos de área (fórmula do trapézio e do triângulo) e a relação em que as diagonais se cortam em razão constante em trapézio.

Passo 2

Calcular a área total do trapézio aplicando\r
\text{Área}_{\text{trap}} = \frac{(\text{base maior} + \text{base menor}) \times \text{altura}}{2}Á\r
Substituindo,
\text{Área}_{\text{trap}} = \frac{(8 + 4)\times 6}{2} = \frac{12 \times 6}{2} = 36\\ \text{cm}^2.Á

Passo 3

Quando as diagonais se cruzam em um trapézio, elas se dividem em partes proporcionais às bases. Em particular, o ponto de interseção fica a \tfrac23 do caminho a partir da base maior, o que implica que a altura desse ponto em relação à base maior é \r
h_1 = \tfrac23 \times 6 = 4\r
e em relação à base menor é \r
h_2 = 6 - 4 = 2.\r
Logo as áreas dos triângulos que contêm as bases são:\r
\text{Área}_{ABP} = \frac{8 \times 4}{2} = 16,\quad \text{Área}_{CDP} = \frac{4 \times 2}{2} = 4,ÁÁ\r
onde AB=8 e CD=4 são as bases.

Passo 4

As duas áreas dos triângulos com base somam 16 + 4 = 20. Como a área total do trapézio é 36, a soma das duas áreas centrais é
36 - 20 = 16.
Como são dois triângulos congruentes, cada um tem área
\frac{16}{2} = 8\\ \text{cm}^2.

Resposta

8

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