(Colégio Naval-2002) O conjunto solução da equação \frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}{\frac{2}{x+1}+\frac{2}{x-1}}=1 é igual a:
a) \varphi
b) R
c) R-\{-1,0,1\}
d) R-\{-1,1\}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de funções racionais
\frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}{\frac{2}{x+1}+\frac{2}{x-1}} = 1
O conteúdo envolvido é manipulação de frações algébricas: identificar o domínio, simplificar numerador e denominador compostos e impor as condições de existência.

Passo 2

Determinamos primeiro o domínio básico, excluindo valores que zerem denominadores internos \frac{x+1}{x-1}, \frac{x-1}{x+1}, \frac{2}{x+1} e \frac{2}{x-1}. Logo,
x-1 \neq 0 \implies x \neq 1, \quad x+1 \neq 0 \implies x \neq -1.

Passo 3

Simplificamos o numerador
\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{4x}{x^2 - 1}.

Passo 4

Simplificamos o denominador
\frac{2}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{2(x-1) + 2(x+1)}{x^2 - 1} = \frac{4x}{x^2 - 1}.
Para que o denominador da equação não seja nulo, requeremos
\frac{4x}{x^2 - 1} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 0.

Passo 5

Substituindo as expressões simplificadas na equação, obtemos
\frac{\frac{4x}{x^2-1}}{\frac{4x}{x^2-1}} = 1,
que é verdadeira para todo x que satisfaz as restrições já listadas:
x \neq -1,\quad x \neq 1,\quad x \neq 0.
Portanto, o conjunto solução é \mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}.

Resposta

c) \mathbb{R}-\{-1,0,1\}

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