(Colégio Naval-82) A área do segmento circular determinado por uma corda de 6 \sqrt{3} \mathrm{~cm} e sua flecha de 3 cm , é:
a) (12 \pi+9 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}
b) (12 \pi-9 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}
c) (12 \pi+3 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}
d) (12 \pi-3 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área do segmento circular determinado por uma corda de comprimento 6\sqrt3 cm e flecha (sagitta) de 3 cm. Vamos usar a geometria do círculo: relação entre raio R, ângulo central \theta, comprimento da corda e flecha, e a fórmula da área de um segmento em termos de R e \theta.

Passo 2

Relacionamos o comprimento da corda c com o raio R e o semiconsiderado ângulo \theta/2:
c = 2R \sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr),
e a flecha h com R e \theta/2:
h = R\bigl(1 - \cos(\tfrac{\theta}{2})\bigr).

Passo 3

Substituímos c = 6\sqrt3 e h = 3 e usamos \sin^2(\tfrac{\theta}{2}) + \cos^2(\tfrac{\theta}{2}) = 1 para achar R. Primeiro,
\sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr) = \frac{6\sqrt3}{2R} = \frac{3\sqrt3}{R}, \quad \cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr) = 1 - \frac{3}{R}.
Da soma de quadrados:
\Bigl(\frac{3\sqrt3}{R}\Bigr)^2 + \Bigl(1 - \frac{3}{R}\Bigr)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{36}{R^2} - \frac{6}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad R = 6.

Passo 4

Com R=6, obtemos
\cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr) = 1 - \tfrac{3}{6} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\theta}{2} = \tfrac{\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{2\pi}{3}.

Passo 5

A área do segmento circular é
A = \frac{R^2}{2}\bigl(\theta - \sin\theta\bigr).
Substituindo R=6 e \theta = 2\pi/3 (e \sin(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2}):
A = \frac{36}{2}\Bigl(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\Bigr) = 18\cdot\frac{2\pi}{3} - 18\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 12\pi - 9\sqrt3.

Resposta

b) (12\pi - 9\sqrt3)\,\mathrm{cm}^2

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