(Colégio Naval-82) De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta peça circular corta-se outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçado é:
a) 1 / 4 da área do quadrado primitivo.
b) 1 / 2 da área do círculo.
c) 1 / 3 da área do quadrado primitivo.
d) 1 / 4 da área do círculo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado de lado s. Nele inscreve–se um círculo de diâmetro máximo (isto é, diâmetro d=s), e desse círculo inscreve–se outro quadrado de lado máximo. Precisamos calcular a quantidade total de metal desperdiçado, isto é, a área inicial menos a área do quadrado final, em função da área do quadrado primitivo.

Passo 2

Área do quadrado primitivo:
A_{\text{Q0}} = s^2.
Círculo inscrito no quadrado: diâmetro d = s, logo raio R = \tfrac{s}{2}. Sua área é
A_{\text{C}} = \pi R^2 = \pi \Bigl(\tfrac{s}{2}\Bigr)^2 = \frac{\pi s^2}{4}.

Passo 3

Quadrado inscrito no círculo: a diagonal desse quadrado é o diâmetro do círculo, ou seja, s. Se o lado do quadrado for L, então L\sqrt{2}=s, daí
L = \frac{s}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad A_{\text{Q1}} = L^2 = \frac{s^2}{2}.

Passo 4

Material desperdiçado é a área inicial menos a área do quadrado final:
A_{\text{desperd}} \;=\; A_{\text{Q0}} - A_{\text{Q1}} \;=\; s^2 - \frac{s^2}{2} \;=\; \frac{s^2}{2}.
Logo a fração desperdiçada, em relação à área do quadrado primitivo s^2, é
\frac{A_{\text{desperd}}}{A_{\text{Q0}}} = \frac{\tfrac{s^2}{2}}{s^2} = \frac12.

Resposta

A quantidade de material desperdiçado é igual a \tfrac12 da área do quadrado primitivo.

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