(Colégio Naval-82/84) Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm e 6 cm . O terceiro lado é um número inteiro expresso por x^{2}+1.0 seu perímetro é:
a) 13 cm
b) 14 cm
c) 15 cm
d) 16 cm

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com dois lados medindo 4 cm e 6 cm, e o terceiro lado é
s = x^{2} + 1,
onde x é inteiro. Vamos usar a desigualdade triangular para encontrar os valores de x que tornam esse triângulo possível e, então, calcular seu perímetro.

Passo 2

As condições de existência de triângulo são
s < 4 + 6 \quad\text{e}\quad s > \bigl|6 - 4\bigr|.
Substituindo s = x^{2} + 1:
x^{2} + 1 < 10 \;\Longrightarrow\; x^{2} < 9 \;\Longrightarrow\; |x| < 3 \;\Longrightarrow\; x \in \{-2,-1,0,1,2\},
x^{2} + 1 > 2 \;\Longrightarrow\; x^{2} > 1 \;\Longrightarrow\; |x| > 1 \;\Longrightarrow\; x \in \{-2,2\}.

Passo 3

A interseção das soluções dá x = \pm2. Para esses valores,
s = 2^{2} + 1 = 5\text{ cm}.
Verificando, os lados 4, 5 e 6 satisfazem a desigualdade triangular.
O perímetro é
4 + 6 + 5 = 15\text{ cm}.

Resposta

15 cm

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