(Colégio Naval-79/80) O triângulo ABC é retângulo em A . A hipotenusa \overline{\mathrm{BC}} mede 6 cm e o ângulo em C é de 30^{\circ}. Tomando-se sobre \overline{\mathrm{AB}} o ponto \mathbf{M} e sobre \overline{\mathbf{B C}} o ponto \mathbf{P}, de maneira que \overline{\mathrm{PM}} seja perpendicular a \overline{\mathrm{BC}} e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será:
a) 4 cm
b) 6(\sqrt{3}-2) \mathrm{cm}
c) 6(\sqrt{2}+1) \mathrm{cm}
c) 6(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \mathrm{cm}
d) 6(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}

Passo 1

O enunciado apresenta um triângulo ABC retângulo em A, com hipotenusa \overline{BC}=6,cm e ângulo em C de 30^\circ. No segmento \overline{AB} toma-se um ponto M e em \overline{BC} um ponto P de modo que \overline{PM}\perp\overline{BC}, e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais. Precisamos achar a distância BM.

Passo 2

Para modelar geometricamente, colocamos
A=(0,0),\quad B=(3,0),\quad C=(0,3\sqrt3).
Nesse sistema, \overline{AB}=3, \overline{AC}=3\sqrt3 e \overline{BC}=6, e o ângulo em C de 30^\circ está garantido.

Passo 3

Definimos BM=x, de modo que
M=(3-x,0).
Parametrizamos P em \overline{BC} por
P=(3,0)+t\bigl((-3),(3\sqrt3)\bigr)=(3-3t,\;3\sqrt3\,t).
A condição \overline{PM}\perp\overline{BC} impõe que P-M seja perpendicular ao vetor (-3,3\sqrt3). Resolvendo essa ortogonalidade, obtemos t=\tfrac{x}{12}, logo
P=\Bigl(3-\tfrac{x}{4},\;\tfrac{x\sqrt3}{4}\Bigr).

Passo 4

Calculamos a área de CAM por determinante:
\text{área}(CAM) =\frac12\bigl|\det\bigl(C-A,\;M-A\bigr)\bigr| =\frac12\bigl|\det\bigl((0,3\sqrt3),(3-x,0)\bigr)\bigr| =\frac{3\sqrt3}{2}\,(3-x).á

Passo 5

Calculamos a área de PMB usando B como origem:
\text{área}(PMB) =\frac12\bigl|\det(P-B,\;M-B)\bigr| =\frac12\Bigl|\det\bigl((-x/4,x\sqrt3/4),\,(-x,0)\bigr)\Bigr| =\frac{x^2\sqrt3}{8}.á

Passo 6

Igualando as áreas:
\frac{3\sqrt3}{2}\,(3-x) =\frac{x^2\sqrt3}{8} \quad\Longrightarrow\quad 12\,(3-x)=x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2+12x-36=0.
A solução positiva é
x=6\,(\sqrt2-1).

Resposta

6(\sqrt2-1) cm

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