(Colégio Naval-79/80) O triângulo ABC é retângulo em A . A hipotenusa \overline{\mathrm{BC}} mede 6 cm e o ângulo em C é de 30^{\circ}. Tomando-se sobre \overline{\mathrm{AB}} o ponto \mathbf{M} e sobre \overline{\mathbf{B C}} o ponto \mathbf{P}, de maneira que \overline{\mathrm{PM}} seja perpendicular a \overline{\mathrm{BC}} e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será:
a) 4 cm
b) 6(\sqrt{3}-2) \mathrm{cm}
c) 6(\sqrt{2}+1) \mathrm{cm}
c) 6(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \mathrm{cm}
d) 6(\sqrt{2}-1) \mathrm{cm}
Passo 1
O enunciado apresenta um triângulo ABC retângulo em A, com hipotenusa \overline{BC}=6,cm e ângulo em C de 30^\circ. No segmento \overline{AB} toma-se um ponto M e em \overline{BC} um ponto P de modo que \overline{PM}\perp\overline{BC}, e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais. Precisamos achar a distância BM.
Passo 2
Para modelar geometricamente, colocamos
A=(0,0),\quad B=(3,0),\quad C=(0,3\sqrt3).
Nesse sistema, \overline{AB}=3, \overline{AC}=3\sqrt3 e \overline{BC}=6, e o ângulo em C de 30^\circ está garantido.
A condição \overline{PM}\perp\overline{BC} impõe que P-M seja perpendicular ao vetor (-3,3\sqrt3). Resolvendo essa ortogonalidade, obtemos t=\tfrac{x}{12}, logo