(Colégio Naval-81/82) Em um triângulo ABC , o ângulo \hat{A} é o dobro do angulo \hat{B}, \overline{\mathrm{AB}}=9 \mathrm{~cm} e \overline{\mathrm{AC}}=4 \mathrm{~cm}, O lado \overline{B C} mede:
a) 9 \sqrt{13} \mathrm{~cm}
b) 3 \sqrt{13} \mathrm{~cm}
c) 4 \sqrt{13} \mathrm{~cm}
d) 6 \sqrt{13} \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC em que \angle A = 2\angle B, \overline{AB}=9, \overline{AC}=4, e pede \overline{BC}. Vamos usar lei dos senos e relação de ângulos para resolver.

Passo 2

Denotemos a = BC (oposto a A), b = AC = 4 (oposto a B) e c = AB = 9 (oposto a C). Seja \angle B = x; então \angle A = 2x e \angle C = 180^\circ -3x. Pela lei dos senos:
\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{\sin x} = \frac{9}{\sin(180^\circ -3x)} = \frac{9}{\sin3x}.
Logo
\sin3x = \frac{9}{4}\,\sin x.

Passo 3

Usamos \sin3x = 3\sin x -4\sin^3x. Assim,
3\sin x -4\sin^3x = \frac{9}{4}\sin x \quad\Longrightarrow\quad 3 -4\sin^2x = \frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad \sin^2x = \frac{3}{16} \quad\Longrightarrow\quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Calculamos \sin A = \sin2x = 2\sin x\cos x. Como \cos x = \sqrt{1-\sin^2x} = \sqrt{\tfrac{13}{16}} = \tfrac{\sqrt{13}}{4}, vem
\sin2x = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{8}.

Passo 5

Pela lei dos senos em a:
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \quad\Longrightarrow\quad a = b\,\frac{\sin A}{\sin B} = 4\;\frac{\frac{\sqrt{39}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = 2\sqrt{13}.

Resposta

\displaystyle 2\sqrt{13}\,\text{cm}

Exercícios de Livros Relacionados