(Colégio Naval-80) Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma reta tangencia essas circunferências nos pontos \mathbf{M} e \mathbf{N} respectivamente. Se \overline{\mathrm{PM}}=4 \mathrm{~cm} e \overline{\mathrm{PN}}=2 \mathrm{~cm}, o produto dos raios dessas circunferências dá:
a) 8 \mathrm{~cm}^{2}
b) 4 \mathrm{~cm}^{2}
c) 5 \mathrm{~cm}^{2}
d) 10 \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências \mathcal{C}_1 e \mathcal{C}_2 tangentes exteriormente em um ponto P. Uma reta comum tangencia \mathcal{C}_1 em M e \mathcal{C}_2 em N. Sabe–se que \overline{PM} = 4\,\text{cm} e \overline{PN} = 2\,\text{cm}, e pede-se o produto dos raios r_1 e r_2 de \mathcal{C}_1 e \mathcal{C}_2. Vamos usar o conceito de homotetia que leva \mathcal{C}_1 em \mathcal{C}_2.

Passo 2

Como as círcunferências são tangentes em P, existe homotetia de centro P que envia \mathcal{C}_1 em \mathcal{C}_2 com razão
k = \frac{r_2}{r_1}.
Essa homotetia leva o ponto de tangência M da reta em \mathcal{C}_1 no ponto de tangência N em \mathcal{C}_2.

Passo 3

Pela propriedade da homotetia, distâncias a partir do centro P satisfazem
PN = k \cdot PM \quad\Longrightarrow\quad PN = \frac{r_2}{r_1}\,PM.
Multiplicando ambos os lados por \(r_1),
PN\;r_1 = PM\;r_2 \quad\Longrightarrow\quad r_1\,r_2 = PM\;PN.

Passo 4

Basta agora substituir PM\(=4) e PN\(=2):
r_1\,r_2 = 4 \times 2 = 8.

Resposta

a) 8\\ \mathrm{cm}^2

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