(Colégio Naval-80) Um hexágono tem 24 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} de drea. Se ligarmos alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo equilitero de área.
a) 12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
b) 8 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
c) 9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
c) 18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
d) 6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
Passo 1
O enunciado considera um hexágono regular de área \,24\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2. Ao ligar alternadamente os pontos médios dos lados, forma–se um triângulo equilátero. Para resolver, vamos: 1. Determinar o lado a do hexágono usando a fórmula da sua área. 2. Calcular o comprimento do lado desse triângulo equilátero. 3. Encontrar a área do triângulo.
Num hexágono regular centrado na origem, escolha vértices em (a,0), \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt{3}}{2}\right), ···) etc. Os pontos médios de três lados alternados, por simetria, formam um triângulo cujos vértices podem ser, por exemplo,