(Colégio Naval-80) Um hexágono tem 24 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} de drea. Se ligarmos alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo equilitero de área.
a) 12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
b) 8 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
c) 9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
c) 18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
d) 6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado considera um hexágono regular de área \,24\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2. Ao ligar alternadamente os pontos médios dos lados, forma–se um triângulo equilátero. Para resolver, vamos:
1. Determinar o lado a do hexágono usando a fórmula da sua área.
2. Calcular o comprimento do lado desse triângulo equilátero.
3. Encontrar a área do triângulo.

Passo 2

A área de um hexágono regular de lado a é
A_H = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2.
Como A_H = 24\sqrt{3}, temos
\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 = 24\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{24\sqrt{3}\times2}{3\sqrt{3}} = 16 \quad\Longrightarrow\quad a = 4\,\mathrm{cm}.

Passo 3

Num hexágono regular centrado na origem, escolha vértices em (a,0), \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt{3}}{2}\right), ···) etc. Os pontos médios de três lados alternados, por simetria, formam um triângulo cujos vértices podem ser, por exemplo,
M_{12}=\Bigl(\tfrac{3a}{4},\;\tfrac{a\sqrt{3}}{4}\Bigr),\quad M_{34}=\Bigl(-\tfrac{3a}{4},\;\tfrac{a\sqrt{3}}{4}\Bigr),\quad M_{56}=\Bigl(0,-\tfrac{a\sqrt{3}}{2}\Bigr).
A distância entre M_{12} e M_{34} é
\bigl|x_{12}-x_{34}\bigr| = \frac{3a}{4} -\bigl(-\tfrac{3a}{4}\bigr) = \frac{3a}{2}.
Logo o lado do triângulo é
L = \frac{3a}{2} = \frac{3\cdot4}{2} = 6\,\mathrm{cm}.

Passo 4

A área de um triângulo equilátero de lado L é
A_T = \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.

Resposta

(c) 9\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.

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