(Colégio Naval-80) X é o lado do quadrado de 4820 \mathrm{~mm}^{2} de área; y é o lado hexágono regular de \frac{7}{2} \sqrt{3} \mathrm{~cm} de apótema e z é o lado do triångulo equilátero inserito no círculo de \mathbf{5 ~ cm} de raio.
Caphtulos. Pollowos
Escrevendo em ordem crescente esse três números teremos:
a) Z, X, Y
b) Z, Y, X
c) Y, Z, X
d) #ERROR!
e) X, Y, Z

Passo 1

O enunciado pede para calcular três comprimentos em centímetros e, em seguida, ordená-los do menor para o maior:
  1. X é o lado de um quadrado de área 4820\\ \mathrm{mm}^2.
  2. Y é o lado de um hexágono regular cujo apótema vale \tfrac{7}{2}\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
  3. Z é o lado de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio 5\\ \mathrm{cm}.
    Precisaremos usar fórmulas de área do quadrado, relação apótema-lado em polígono regular e relação lado-raio em triângulo equilátero.

Passo 2

Calcular X. A área do quadrado é
4820\\ \mathrm{mm}^2 = X^2,
logo
X = \sqrt{4820}\\ \mathrm{mm}\approx 69{,}429\\ \mathrm{mm}.
Convertendo para centímetros ( 1\\ \mathrm{cm}=10\\ \mathrm{mm}):
X \approx 6{,}9429\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Calcular Y. Em um hexágono regular, o apótema a e o lado s satisfazem
a = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s.
Aqui a = \tfrac{7}{2}\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}, então
s = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2\bigl(\tfrac{7}{2}\sqrt{3}\bigr)}{\sqrt{3}} = 7\\ \mathrm{cm}.
Portanto Y = 7\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular Z. Para um triângulo equilátero inscrito em círculo de raio R, vale
R = \frac{s}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad s = R\sqrt{3}.
Com R=5\\ \mathrm{cm}, obtemos
Z = 5\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}\approx 8{,}6603\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Comparar os valores:
X \approx 6{,}9429\\ <\\ Y = 7\\ <\\ Z \approx 8{,}6603.
Logo, em ordem crescente: X,\,Y,\,Z.

Resposta

e) X, Y, Z

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