(Colégio Naval-82) \mathrm{x}^{2}-\frac{4 \mathrm{x}}{\mathrm{x}-3} divido por \mathrm{x}+ \frac{4 x^{2}+4 x}{x^{2}-2 x-3} para x \neq 3 e x \neq-1 dá:
a) x+1
b) x-4
c) x+4
d) x^{2}-3
e) x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente
\frac{x^{2}-\dfrac{4x}{x-3}}{x+\dfrac{4x^{2}+4x}{x^{2}-2x-3}}
para x\neq3 e x\neq-1. O conteúdo envolvido é manipulação de frações algébricas: somar termos sobre um mesmo denominador, fatorar polinômios e simplificar cancelando fatores comuns.

Passo 2

Simplificamos o numerador
N = x^{2}-\frac{4x}{x-3}
colocando sobre o mesmo denominador x-3:
N = \frac{x^{2}(x-3)-4x}{x-3} =\frac{x\bigl(x^{2}-3x-4\bigr)}{x-3} =\frac{x(x-4)(x+1)}{x-3}.

Passo 3

Agora o denominador
D = x + \frac{4x^{2}+4x}{x^{2}-2x-3}
reconhecendo x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1). Escrevendo tudo sobre (x-3)(x+1):
D = \frac{x\,(x-3)(x+1) + 4x(x+1)}{(x-3)(x+1)} =\frac{x(x+1)\bigl[(x-3)+4\bigr]}{(x-3)(x+1)} =\frac{x(x+1)^{2}}{(x-3)(x+1)} =\frac{x(x+1)}{x-3}.

Passo 4

O quociente original é
\frac{N}{D} =\frac{\displaystyle \frac{x(x-4)(x+1)}{x-3}} {\displaystyle \frac{x(x+1)}{x-3}} =\frac{x(x-4)(x+1)}{x-3}\times\frac{x-3}{x(x+1)}.
Cancelam-se x-3, x e x+1, sobrando
x-4.

Resposta

(b) x-4

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