(CM Manaus-2009) A simplificação da expressão \frac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}} com a \neq 0, b \neq 0 e a \neq \pm b é:
a) a^{2}-b^{2}
b) a^{2}+b^{2}
c) a^{-6}+b^{-6}
d) \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}
e) \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2} b^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}}
sabendo que a\neq0, b\neq0 e a\neq\pm b.
Aqui vamos usar as propriedades de potências negativas (como a^{-n}=1/a^{n}) e fatoração de diferença de potências (especialmente a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o numerador e o denominador em termos de frações com expoentes positivos:
a^{-4}-b^{-4} = \frac{1}{a^{4}} - \frac{1}{b^{4}} = \frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}
e
a^{-2}-b^{-2} = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = \frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}.

Passo 3

Note que ambos os numerador e denominador têm sinal “invertido” em relação à forma a^4-b^4 e a^2-b^2. Escrevemos
\frac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}} = \frac{\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}}{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}} = \frac{-(a^{4}-b^{4})}{a^{4}b^{4}} \;\Big/\; \frac{-(a^{2}-b^{2})}{a^{2}b^{2}}.

Passo 4

Dividindo pelas frações e usando a fatoração a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2), obtemos
\frac{-(a^{4}-b^{4})}{a^{4}b^{4}} \;\times\; \frac{a^{2}b^{2}}{-(a^{2}-b^{2})} = \frac{(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})}{a^{4}b^{4}} \;\times\; \frac{a^{2}b^{2}}{(a^{2}-b^{2})}.

Passo 5

Agora basta cancelar o fator comum (a^{2}-b^{2}) e simplificar a^{2}b^{2} com a^{4}b^{4}:
\frac{(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})}{a^{4}b^{4}} \;\times\; \frac{a^{2}b^{2}}{(a^{2}-b^{2})} = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}} (alternativa e)

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