(Colégio Naval-94/95) Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios de um trapézio retângulo ABCD , de bases \mathrm{AB}=32 \mathrm{e} C D=8. A altura B C é igual a:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 16
e) 20

Passo 1

O enunciado dá um trapézio retângulo ABCD com bases AB=32 e CD=8 e pede a altura BC, sabendo que ao unir os pontos médios dos lados forma-se um retângulo. Para resolver, vamos:
  1. Colocar o trapézio num sistema de coordenadas.
  2. Calcular as coordenadas dos pontos médios.
  3. Exigir que um par de lados adjacentes do paralelogramo formado seja perpendicular (condição de retângulo).
  4. Resolver para a altura BC.

Passo 2

Escolhemos:
A=(0,0),\quad B=(32,0),\quad C=(32,h),\quad D=(24,h),
onde h é a altura BC. Os pontos médios são
E=\Bigl(\frac{0+32}{2},\frac{0+0}{2}\Bigr)=(16,0),\quad F=\Bigl(\frac{32+32}{2},\frac{0+h}{2}\Bigr)=(32,\tfrac h2),
G=\Bigl(\frac{32+24}{2},\frac{h+h}{2}\Bigr)=(28,h),\quad H=\Bigl(\frac{24+0}{2},\frac{h+0}{2}\Bigr)=(12,\tfrac h2).

Passo 3

No paralelogramo EFGH, tomamos os vetores
\overrightarrow{EF} = F - E = (32-16,\tfrac h2-0)=(16,\tfrac h2),
\overrightarrow{FG} = G - F = (28-32,h-\tfrac h2)=(-4,\tfrac h2).
Para ser retângulo, \overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{FG}, logo seu produto escalar é zero:
\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG} =16\cdot(-4)+\tfrac h2\cdot\tfrac h2 =-64+\frac{h^2}{4}=0.

Passo 4

Da equação
-64+\frac{h^2}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{h^2}{4}=64 \quad\Longrightarrow\quad h^2=256 \quad\Longrightarrow\quad h=16.

Resposta

d) 16

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