(Colégio Naval-95) Um poligono regular convexo tem o seu número de diagonais expresso por n^{2}-10 n+8, onde n é o seu número de lados. O seu ângulo interno x é tal que:
a) x<120^{\circ}
b) 120^{\circ}<x<130^{\circ}
c) 130^{\circ}<x<140^{\circ}
d) 140^{\circ}<x<150^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que um polígono regular convexo de n lados tem número de diagonais dado por
n^2 - 10n + 8
e sabemos que, em geral, o número de diagonais de um polígono de n lados é
\frac{n(n-3)}{2}.
Queremos determinar n e depois calcular o ângulo interno x desse polígono.

Passo 2

Igualamos as duas expressões para o número de diagonais:
\frac{n(n-3)}{2} \;=\; n^2 - 10n + 8.
Multiplicando por 2 em ambos os lados, obtemos
n(n-3) = 2n^2 - 20n + 16.
Isso leva a
n^2 -3n = 2n^2 -20n +16 \quad\Longrightarrow\quad 0 = n^2 -17n +16.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
n^2 - 17n + 16 = 0
pelo discriminante, temos
\Delta = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225,
n = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2}.
As raízes são n=1 e n=16. Como n=1 não é válido para polígono, fica n=16.

Passo 4

O ângulo interno x de um polígono regular de n lados é
x = \frac{(n-2)\,180^\circ}{n}.
Substituindo n=16:
x = \frac{(16-2)\,180^\circ}{16} = \frac{14 \times 180^\circ}{16} = 14 \times 11{,}25^\circ = 157{,}5^\circ.

Resposta

O ângulo interno é 157{,}5^\circ, ou seja, maior que 150^\circ. Nenhuma das alternativas dadas (a–d) contempla esse valor.

Exercícios de Livros Relacionados