(Colégio Naval-89) Um poligono regular convexo de 18 vértices A_{1} A_{2} A_{3} \ldots . . A_{18} está inscrito em uma circunferència de raio R. traçamse as diagonais \overline{A_{1} A_{7}} e \overline{A_{2} A_{5}}. A ärea da parte do circulo compreendida entre essas diagonais é:
a) \frac{\mathrm{R}^{2}}{12}(4 \pi-3 \sqrt{3})
b) \frac{\pi R^{2}}{3}
c) \mathrm{R}^{2}(\pi-\sqrt{3})
d) \frac{\mathrm{R}^{2}}{12}(2 \pi-3 \sqrt{3})
Passo 1
Temos um polígono regular convexo de 18 vértices A_{1}\dots A_{18} inscrito numa circunferência de raio R. Traçam-se as diagonais \overline{A_{1}A_{7}} e \overline{A_{2}A_{5}}. Vamos calcular a área da parte do disco que fica “entre” essas duas diagonais. Para isso precisaremos: 1. Determinar os arcos centrais correspondentes a cada diagonal. 2. Calcular as áreas dos dois segmentos circulares formados por essas diagonais. 3. Observar que há duas partes iguais “entre” as diagonais e somar as duas.
Passo 2
Calculemos o ângulo central correspondente a cada diagonal: \bullet A diagonal A_{1}A_{7} liga vértices com diferença de índice 7-1=6. Cada lado do 18-gono subtende 360\circ/18=20\circ, logo