(Colégio Naval-89) Um poligono regular convexo de 18 vértices A_{1} A_{2} A_{3} \ldots . . A_{18} está inscrito em uma circunferència de raio R. traçamse as diagonais \overline{A_{1} A_{7}} e \overline{A_{2} A_{5}}. A ärea da parte do circulo compreendida entre essas diagonais é:
a) \frac{\mathrm{R}^{2}}{12}(4 \pi-3 \sqrt{3})
b) \frac{\pi R^{2}}{3}
c) \mathrm{R}^{2}(\pi-\sqrt{3})
d) \frac{\mathrm{R}^{2}}{12}(2 \pi-3 \sqrt{3})

Passo 1

Temos um polígono regular convexo de 18 vértices A_{1}\dots A_{18} inscrito numa circunferência de raio R. Traçam-se as diagonais \overline{A_{1}A_{7}} e \overline{A_{2}A_{5}}. Vamos calcular a área da parte do disco que fica “entre” essas duas diagonais. Para isso precisaremos:
1. Determinar os arcos centrais correspondentes a cada diagonal.
2. Calcular as áreas dos dois segmentos circulares formados por essas diagonais.
3. Observar que há duas partes iguais “entre” as diagonais e somar as duas.

Passo 2

Calculemos o ângulo central correspondente a cada diagonal:
\bullet A diagonal A_{1}A_{7} liga vértices com diferença de índice 7-1=6. Cada lado do 18-gono subtende 360\circ/18=20\circ, logo
\widehat{A_{1}OA_{7}} = 6\times20\circ = 120\circ.
\bullet A diagonal A_{2}A_{5} liga vértices com diferença 5-2=3, então
\widehat{A_{2}OA_{5}} = 3\times20\circ = 60\circ.

Passo 3

Cada diagonal determina um segmento circular:
– O segmento cortado pela corda A_{1}A_{7} tem área
\text{Área}_1 = \Bigl(\tfrac{120\circ}{360\circ}\pi R^2\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac12\,R^2\sin120\circ\Bigr) = \tfrac13\pi R^2 \;-\;\tfrac12\,R^2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi R^2}{3} \;-\;\tfrac{\sqrt3}{4}R^2.Á
– O segmento cortado pela corda A_{2}A_{5} tem área
\text{Área}_2 = \Bigl(\tfrac{60\circ}{360\circ}\pi R^2\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac12\,R^2\sin60\circ\Bigr) = \tfrac{\pi R^2}{6} \;-\;\tfrac12\,R^2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi R^2}{6} \;-\;\tfrac{\sqrt3}{4}R^2.Á

Passo 4

A região “entre” as duas diagonais, de um lado de sua interseção, é a diferença desses segmentos:
\text{Área de uma parte} = \text{Área}_1 \;-\;\text{Área}_2 = \Bigl(\tfrac{\pi R^2}{3}-\tfrac{\sqrt3}{4}R^2\Bigr) -\Bigl(\tfrac{\pi R^2}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}R^2\Bigr) = \tfrac{\pi R^2}{6}.ÁÁÁ
Porém existem duas regiões congruentes “entre” as diagonais (uma de cada lado da interseção), de modo que a área total pedida é
2\;\times\;\tfrac{\pi R^2}{6}\;=\;\tfrac{\pi R^2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi R^{2}}{3} (alternativa b)

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