(EEAR-2002) A soma dos ängulos intemos de um poligono convexo regular é de 720^{\circ}, Sabendose que o seu lado mede 4 cm e que ele esta inscrito numa circunferéncia, entăo a área desse poligono, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}, é
a) 6 \sqrt{3}
b) 18 \sqrt{3}
c) 12 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo regular é de 720^\circ, que cada lado desse polígono mede 4\\ \mathrm{cm} e que ele está inscrito numa circunferência. O conteúdo envolvido é:
– reconhecer o número de lados n a partir da soma dos ângulos internos;
– usar a relação entre lado do polígono regular e o raio da circunferência circunscrita;
– aplicar a fórmula da área de um polígono regular inscrito em círculo.

Passo 2

Calcular o número de lados n. Para um polígono convexo regular vale
\text{soma dos ângulos internos} = (n-2)\,180^\circ.â
Como isso dá 720^\circ, temos
(n-2)\,180 = 720 \quad\Longrightarrow\quad n-2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad n = 6.
Logo, é um hexágono regular.

Passo 3

Determinar o raio R da circunferência circunscrita. No hexágono regular inscrito, o ângulo central correspondente a cada lado é
\frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ.
E a relação entre lado s e raio R é
s = 2R\sin\bigl(\tfrac{1}{2}\cdot60^\circ\bigr) = 2R\sin 30^\circ = 2R\cdot\tfrac12 = R.
Como s=4\\ \mathrm{cm}, segue
R = 4\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular a área A do hexágono regular de raio R. A fórmula geral para área de um polígono regular inscrito em círculo é
A = \tfrac12\,n\,R^2\,\sin\!\bigl(\tfrac{360^\circ}{n}\bigr).
Substituindo n=6 e R=4:
A = \tfrac12\cdot6\cdot4^2\cdot\sin(60^\circ) = 3\cdot16\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 24\sqrt3\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas está correta, pois a área calculada é 24\sqrt3\\ \mathrm{cm}^2.

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