(Colégio Naval-92) Um sistema de três equações do 1^{\circ} grau com duas incógnitas é determinado. Logo um sistema formado por apenas duas destas equações.
a) é determinado
b) é indeterminado
c) é impossivel
d) pode ser impossível ou determinado

Passo 1

O enunciado diz que um sistema de três equações lineares em duas incógnitas é determinado, ou seja, tem exatamente uma solução comum a todas as três equações. Vamos analisar o que ocorre se formos tomar apenas duas dessas equações e resolver o sistema com elas.

Passo 2

Chame as incógnitas de (x,y)\) e as três equações de \[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1,\\\ a_2x + b_2y = c_2,\\\ a_3x + b_3y = c_3. \end{cases}
Como o sistema completo tem solução única, o posto (rank) da matriz dos coeficientes é (2].

Passo 3

Ao escolher duas equações quaisquer, obtemos um sistema
\begin{cases} a_i x + b_i y = c_i,\\\ a_j x + b_j y = c_j, \end{cases}
com i\neq j. Há duas possibilidades para a submatriz
\begin{pmatrix}a_i & b_i\a_j & b_j\end{pmatrix}:
  1. seu determinante é diferente de zero, então o sistema tem solução única (determinado);
  2. seu determinante é zero, então as duas retas são paralelas e não têm ponto em comum (impossível).

Passo 4

Como podem ocorrer as duas situações (determinante \neq0 ou determinante =0), o sistema formado por duas das três equações pode
– ser determinado (se as retas não forem paralelas), ou
– ser impossível (se as retas forem paralelas).

Resposta

d) pode ser impossível ou determinado

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